Ejemplos de sistemas independientes de ecuaciones

Resumen de sistemas independientes de ecuaciones

Un sistema de ecuaciones consta de dos o más ecuaciones que se resuelven simultáneamente. Para resolver el sistema, debes encontrar soluciones para cada variable. Un sistema de ecuaciones se considera independiente si las gráficas de las ecuaciones crean líneas diferentes. Los sistemas independientes de ecuaciones tienen una solución que se puede encontrar gráfica o algebraicamente.

Ejemplo de un gráfico

En nuestro primer ejemplo, usaremos una gráfica de las ecuaciones lineales. La solución del sistema se puede encontrar mediante la identificación de las x y Y coordenadas del punto de intersección.

Gráfica de un sistema de ecuaciones independiente

Este sistema es independiente porque las gráficas de las ecuaciones producen dos rectas diferentes. Si las ecuaciones producen la misma línea, son dependientes .

En la gráfica, la solución se encuentra ubicando el punto de intersección, que es (2, 3). Este punto representa los valores de x y y que satisfagan ambas ecuaciones. Podemos verificar para asegurarnos de que satisfacen ambas ecuaciones sustituyendo los valores en cada ecuación.

Para la primera ecuación, obtenemos 3 = -2 + 5, que es una ecuación verdadera porque -2 + 5 es igual a 3. Esto nos dice que nuestra solución satisface la primera ecuación. Para la segunda ecuación, obtenemos 3 = (1/2) (2) + 2, que también es una ecuación verdadera. Dado que nuestra solución satisface ambas ecuaciones, sabemos que es correcta.

Ejemplo de una ecuación algebraica

Cuando se grafican las ecuaciones, podemos determinar rápidamente si un sistema es independiente o no. También podemos saber examinando las ecuaciones, siempre que sepamos qué buscar. Para que el sistema sea independiente, las ecuaciones deben tener líneas diferentes cuando se grafican. Si las ecuaciones tienen diferentes pendientes y / o intersecciones, crearán diferentes líneas. Para nuestro siguiente ejemplo, identificaremos la pendiente y la intersección de cada ecuación en un sistema de ecuaciones.

Ejemplo algebraico de un sistema independiente de ecuaciones

A primera vista, las ecuaciones parecen similares porque tienen algunos de los mismos números. Pero para saber si producirán líneas diferentes, necesitamos identificar la pendiente y la intersección. La primera ecuación tiene la forma y = m x + b, o forma pendiente-intersección. El coeficiente de x es la pendiente (m) y el término constante es la intersección y (b). Esto nos dice que en la primera ecuación, la pendiente es ocho menos y la intersección con el eje y es cuatro.

La segunda ecuación se puede poner en forma pendiente-intersección restando 8 x y dividiendo por cuatro en ambos lados de la ecuación: y = -2 x . Por lo tanto, la pendiente es menos dos y la intersección con el eje y es cero.

Las dos ecuaciones tienen diferentes pendientes y diferentes intersecciones. Dado que producirían dos rectas diferentes, podemos concluir que el sistema de ecuaciones es independiente y que hay una solución.

El método de sustitución se puede utilizar para resolver este sistema algebraicamente. La primera ecuación nos dice que y es igual a -8 x + 4, por lo que podemos sustituir -8 x + 4 para y en la segunda ecuación. La segunda ecuación se convierte en 8 x + 4 (-8 x + 4) = 0. Luego, podemos resolver la ecuación para x , y sustituir la solución por x en una de las ecuaciones para resolver por y .

Solución algebraica para un sistema independiente de ecuaciones

Hemos resuelto ahora para X y Y , por lo que nuestra solución es completa. Si tuviéramos que graficar este sistema de ecuaciones, encontraríamos la solución en el punto de intersección, que es (2/3, 14/3).

Resumen de la lección

En un sistema independiente de ecuaciones , las ecuaciones producen diferentes rectas. Esto se puede observar en un gráfico o examinando las ecuaciones. Si las ecuaciones tienen diferentes pendientes y / o intersecciones, veremos diferentes líneas en el gráfico. Los sistemas independientes tienen una solución que se puede encontrar gráfica o algebraicamente. En la gráfica, la solución es el punto donde las líneas se cruzan. Al resolver algebraicamente, encontraremos un valor para cada variable.