El conjunto vacío en matemáticas: definición y símbolo

Definición: Establecer

Antes de definir el conjunto vacío, necesitamos establecer qué es un conjunto. Un conjunto es una colección de elementos u objetos distintos. Cada elemento es discernible de los demás elementos del conjunto. En otras palabras, necesitamos poder distinguir un elemento de otro.

Un ejemplo de un conjunto serían todos los números naturales, o contables, menores que 5. Llamemos a esto Conjunto A. Usando la notación de conjuntos adecuada, podemos escribir el Conjunto A de la siguiente manera: A = {1, 2, 3, 4}. Los tirantes se utilizan normalmente para encerrar los elementos de un conjunto.

Definición: el conjunto vacío

El conjunto vacío es un conjunto sin elementos. Podemos usar llaves para mostrar el conjunto vacío: {}. Alternativamente, este símbolo, Ø, se usa a menudo para mostrar el conjunto vacío. Como muestra la imagen, los dos símbolos significan lo mismo. Podemos pensar en el conjunto vacío como una caja sin nada dentro. El conjunto vacío existe como existe la caja. Podemos pensar en las llaves como representando el contenedor.

Cardinalidad del conjunto vacío

La cardinalidad de un conjunto es el número de elementos del conjunto. El conjunto A definido anteriormente como los números de conteo menores que 5 tiene una cardinalidad de 4 porque tiene cuatro elementos: los números 1, 2, 3 y 4.

Usando notación de conjuntos, lo escribimos de esta manera: | A | = 4. Las barras verticales a ambos lados de ‘A’ indican la cardinalidad del conjunto A. La cardinalidad del conjunto vacío es 0 porque el conjunto vacío no tiene elementos. En notación de conjuntos, podemos escribir | Ø | = 0.

El conjunto vacío como conjunto de soluciones

Si un problema no tiene solución, la solución se puede representar mediante el conjunto vacío. Por ejemplo, establezcamos este problema:

‘Nombra todos los estados de los Estados Unidos que comienzan con la letra Z.’

No hay estados en los Estados Unidos que comiencen con la letra Z. Por lo tanto, la solución a este problema es el conjunto vacío: Ø. Sin embargo, necesitamos distinguir entre el conjunto vacío y el número cero como respuesta. Reformulemos el problema anterior de la siguiente manera:

“¿Cuántos estados en los Estados Unidos comienzan con la letra Z?”

La respuesta a esta pregunta es 0. Usando la notación de conjuntos, escribiríamos la solución como {0}. Esta solución contiene un elemento, el número 0, por lo que su cardinalidad es 1. ¡No está vacío! Veamos un problema de álgebra. ¿Qué valores de x hacen que la siguiente ecuación sea verdadera: x + 5 = x + 3?

Deberíamos ver que no hay valores posibles de x que hagan que esta ecuación sea verdadera. El lado izquierdo de la ecuación siempre será más grande que el lado derecho de la ecuación. Por tanto, la solución, o el dominio de x , es el conjunto vacío.

El conjunto vacío como subconjunto

El conjunto vacío es un subconjunto de cada conjunto. Definamos subconjunto. Un conjunto es un subconjunto de otro conjunto si cada elemento del conjunto es también un elemento del otro conjunto. El conjunto A es un subconjunto del conjunto B si cada elemento de A es también un elemento de B.

Si el conjunto A contiene {1, 2} y el conjunto B contiene {1, 2, 3, 4}, entonces A es un subconjunto de B porque cada elemento de A, los números 1 y 2, también son elementos de B. El vacío conjunto no tiene elementos, por lo que podemos decir que todos los elementos del conjunto vacío son elementos de cualquier otro conjunto. Por lo tanto, el conjunto vacío es un subconjunto de cualquier conjunto.

El conjunto vacío y el conjunto de energía

Un conjunto de potencias es un conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto dado. Sí, los conjuntos pueden ser elementos de otros conjuntos. Definamos Set C contiene los elementos de una y b . Lo escribiríamos de esta manera en notación de conjuntos: C = { a , b }. Los subconjuntos de C son { a }, { b } y { a , b }. Cada uno de estos conjuntos satisface la definición de subconjunto. Sin embargo, olvidamos un subconjunto, el conjunto vacío.

Recuerde, el conjunto vacío es un subconjunto de cada conjunto. Ahora podemos establecer el conjunto de potencias de C, escrito como P (C), en notación de conjuntos de la siguiente manera: P (C) = {Ø, { a }, { b }, { a , b }}. Hay cuatro subconjuntos, por lo que el conjunto de potencias del Conjunto C tiene cuatro elementos, que podemos escribir en notación de conjuntos de esta manera: | P (C) | = 4.

Resumen de la lección

El conjunto vacío es un conjunto que no contiene elementos. El conjunto vacío se puede mostrar mediante este símbolo: Ø. También se puede mostrar usando un par de llaves: {}. Hay algunas propiedades importantes del conjunto vacío para recordar:

• La cardinalidad del conjunto vacío es 0.
• El conjunto vacío es un subconjunto de cada conjunto, incluso de sí mismo.
• El conjunto de potencia de cualquier conjunto incluye el conjunto vacío.

Puntos clave

Terminología	Definiciones
Conjunto	una colección de elementos u objetos distintos
Conjunto vacio	un conjunto sin elementos
Cardinalidad	un conjunto es el número de elementos del conjunto
Cardinalidad del conjunto vacío	es 0 porque el conjunto vacío no tiene elementos
Subconjunto	un conjunto menor de otro conjunto si cada elemento del conjunto es también un elemento del otro conjunto
Set de poder	un conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto dado

Los resultados del aprendizaje

Trabajar en esta lección le ayudará a realizar las siguientes tareas:

• Definir conjunto vacío y comprender su relación con la cardinalidad.
• Determinar ciertas propiedades del conjunto vacío, incluidos los roles de subconjunto y conjunto de potencia
• Aplicar estas propiedades con los ejemplos anteriores