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El postulado del paralelo: definición y ejemplos

Publicado el 22 septiembre, 2020

¿Qué es el postulado del paralelo?

Hace miles de años, un matemático griego llamado Euclides estableció los fundamentos de la geometría plana en cinco postulados , que son afirmaciones que se suponen verdaderas sin pruebas. En la lección de hoy, cubriremos su quinto postulado, llamado postulado paralelo , que establece que si una línea recta interseca dos líneas rectas formando dos ángulos interiores en el mismo lado que suman menos de 180 grados, entonces las dos líneas, si extendido indefinidamente, se encontrará en el lado en el que los ángulos suman menos de 180 grados.

¿Confuso? Probablemente lo estés, y está bien. Simplifiquemos lo que realmente significa ese lío técnico de una definición. Supongamos que tenemos dos líneas, como se muestra aquí en la pantalla.

Dos líneas paralelas

Dibujamos una tercera línea que se cruza con las otras dos y etiquetamos los ángulos interiores alfa y beta , como se muestra aquí.

Alfa Beta

Imagínese extender las dos líneas indefinidamente. En nuestra figura, se puede ver claramente que eventualmente se cruzarían.

Intersección

Lo que afirma el postulado paralelo es que estas líneas se intersecarían en el lado de los ángulos alfa y beta solo si la suma de estos ángulos es menor de 180 grados. Tenga en cuenta que la posible intersección se produce en el lado de los ángulos alfa y beta . Es decir, estamos hablando de este lado:

Este lado

Y no de este lado:

No de este lado

También tenga en cuenta que el postulado establece que la intersección solo ocurriría si la suma de alfa y beta es menor de 180 grados. Si todavía está confundido, ¿por qué no echamos un vistazo más de cerca al postulado paralelo con algunos ejemplos? Las cosas prácticas nunca duelen, ¿verdad?

El postulado paralelo: ejemplos

Podemos tener tres casos generales con respecto a la postulado paralelo, comenzando con el dibujo de dos líneas paralelas marcadas m y l y una transversal marcado n . Colocamos los ángulos alfa y beta a la derecha de la transversal. En la figura resultante, es fácil ver que las líneas m y l nunca se cruzan entre sí.

M&L paralelo

Oh, y aquí es una nota rápida e importante: el retiro de la geometría que cuando m y l son paralelos, los ángulos alfa y beta son suplementarios. Es decir, suman 180 grados. Ahora suponga que giramos la línea m en el sentido de las agujas del reloj. Nuestra rotación reduce la medida del ángulo de alfa , lo que significa que la suma de alfa y beta también es inferior a 180 grados. En este caso, es fácil ver que las líneas m y l acabarían cruzar a la derecha del transversales n .

Cruzando M&L

El mismo escenario habría resultado si mantuviéramos la línea m fija y en su lugar la rotáramos l en sentido antihorario.

Ahora vamos a volver a las líneas de m y l ser paralelo. Ahora rotamos la línea m en sentido antihorario, como se muestra en la pantalla.

M&L sin cruce

Esta rotación aumenta la medida del ángulo de alfa , lo que hace que la suma de alfa y beta sea más de 180 grados. En este caso, podemos ver que las líneas m y l nunca lo cruzar a la derecha de la transversal, de acuerdo con el postulado de las paralelas.

Nunca cruzando M&L

Hablando de eso, el mismo escenario habría resultado si mantuviéramos la línea m fija y rotara la línea l en el sentido de las agujas del reloj. Como nota final, si hubiéramos colocado los ángulos alfa y beta en el otro lado de la transversal, el postulado paralelo aún se mantendría. Sin embargo, esta vez estaríamos viendo si las líneas m y l cruz en el lado izquierdo de la transversal, porque alfa y beta son ahora en el lado izquierdo de la transversal.

Resumen de la lección

Con suerte, aquí estamos todos resueltos. (¿Captas esa broma de geometría?) De acuerdo, un postulado es una afirmación que se asume que es verdadera sin pruebas. El postulado paralelo establece que si una línea recta interseca dos líneas rectas que forman dos ángulos interiores en el mismo lado que suman menos de 180 grados, entonces las dos líneas, si se extienden indefinidamente, se encontrarán en ese lado en el que los ángulos se suman. a menos de 180 grados. Hemos analizado lo que significa esta definición con ejemplos visuales y, en nuestro análisis, el postulado paralelo sostenido en cada escenario. Ahora debería sentirse bastante seguro de comprender este importante postulado.

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