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El teorema de HL (hipotenusa): definición, prueba y ejemplos

Publicado el 22 septiembre, 2020

El teorema de NS

Los triángulos rectángulos son los mejores. Siempre están tratando de ayudarnos. En el mundo real, son el queso que complementa la galleta, la cuña que evita que las puertas se cierren y la tostada cuando está bien cortada y, ya sabes, no solo cortada por la mitad como si fuéramos neandertales o algo así.

En geometría, los triángulos rectángulos también son nuestros amigos. En un triángulo rectángulo, siempre sabemos que uno de los ángulos mide 90 grados. Y saber es la mitad de la batalla. Bueno, dado que hay tres ángulos, supongo que es solo un tercio de la batalla. Pero eso sigue siendo gran parte de la batalla.

También tenemos herramientas increíbles, como el teorema de Pitágoras o a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2. Esto nos permite descubrir siempre el tercer lado de un triángulo si conocemos dos.

Y luego está el teorema de la hipotenusa de la pierna , o teorema de HL . Este teorema establece que “si la hipotenusa y un cateto de un triángulo rectángulo son congruentes con la hipotenusa y un cateto de otro triángulo rectángulo, entonces los triángulos son congruentes”.

Esto es algo así como el SAS, o el postulado de ángulo lateral. Pero SAS requiere que conozca dos lados y el ángulo incluido. Con el teorema de HL, conoces dos lados y un ángulo, pero el ángulo que conoces es el ángulo recto, que no es el ángulo incluido entre la hipotenusa y un cateto.

Demostrar el teorema

Hay varias formas diferentes en las que podemos verificar que este teorema se verifica. Una forma sencilla es con este triángulo.


Si AB = AD entonces el triángulo es isósceles
Triángulo ABD con bisectriz C

Aquí, se nos dice que AB = AD . Entonces ABD es un triángulo isósceles. Los triángulos isósceles son buenos y todo, pero ¿puedes cortar tu tostada en un triángulo isósceles? Bueno, supongo que podrías, pero ¿te gustaría?

De todos modos, también sabemos que AC es una línea de altitud. Eso significa que es perpendicular a BD . Las líneas perpendiculares forman ángulos rectos, por lo que los ángulos ACB y ACD son ángulos rectos. Eso hace que nuestros dos triángulos más pequeños, ABC y ADC , sean triángulos rectángulos. ¡Hurra! No solo un amigo, sino dos.

¿Cuáles son las hipotenusas de estos triángulos rectángulos? AB y AD , y sabemos que son iguales entre sí. Además, sabemos que AC = AC porque, bueno, son la misma línea. Más formalmente, llamamos a esto la propiedad reflexiva. Entonces AB y AC son iguales a AD y AC . Eso es una hipotenusa y un par de catetos en dos triángulos rectángulos, que es la definición del teorema de HL.

Si este teorema es correcto, entonces estos deben ser triángulos congruentes. ¿Podemos estar seguros? Bueno, sabemos que los ángulos B y D son iguales. Son los lados opuestos a los lados iguales del triángulo isósceles ABD .

También sabemos que los ángulos BAC y DAC son iguales. ¿Por qué? Porque esta línea de altitud en un triángulo isósceles biseca el ángulo. También biseca BD , lo que hace que BC sea igual a CD .

Acabamos de mostrar que los tres ángulos y los tres lados de nuestros dos triángulos rectángulos son congruentes. Esa es la definición de triángulos congruentes. Por lo tanto, acabamos de verificar el teorema de HL. Supongo que sabíamos que saldría bien. Los triángulos rectángulos no nos defraudan, ¿verdad?

Prueba de práctica # 1

¿Qué hay de ver este teorema en acción? Probemos una demostración con estos dos triángulos. Se nos da que los ángulos O y X son ángulos rectos. Además, MN es congruente con ZY y NO es congruente con YX . ¿Podemos probar que el ángulo M es congruente con el ángulo Z ?

Primero, digamos que los ángulos O y X son ángulos rectos. Se nos ha dado eso. Eso significa que los triángulos MNO y ZYX son triángulos rectángulos. Tienen un ángulo recto y esa es la definición de triángulos rectángulos.

También digamos que se nos da que MN es congruente con ZY y NO es congruente con YX . De acuerdo, triángulos rectángulos e hipotenusas congruentes y catetos congruentes. Ahora podemos afirmar que el triángulo MNO es congruente con el triángulo ZYX usando el teorema de HL.

Finalmente, podemos afirmar que el ángulo M es congruente con el ángulo Z porque las partes correspondientes de los triángulos congruentes son congruentes, o CPCTC. ¡Y eso es!

Prueba de práctica # 2

¿Qué tal otro? Aquí hay una mariposa. También son dos triángulos conectados. Se nos da que el ángulo PRQ es un ángulo recto. Además, sabemos que PQ es congruente con TS y PR es congruente con TR . ¿Podemos probar que QR es congruente con SR ?

Comencemos indicando que el ángulo PRQ es un ángulo recto. Eso es dado. Eso también significa que el ángulo SRT es un ángulo recto porque son ángulos verticales. Entonces ahora podemos afirmar que los triángulos PRQ y TRS son triángulos rectángulos. Esa es la definición de triángulos rectángulos.

Estamos a un tercio del camino. Y esa es la mitad de la batalla. O, bueno, ya sabes, un tercero. Pero espera, ¿qué más nos dieron? PQ es congruente con TS . PQ y TS ? ¡Hipotenusa e hipotenusa! Y PR es congruente con TR . Son piernas.

Entonces, el triángulo PRQ es congruente con el triángulo TRS debido al teorema de HL. Ahora podemos concluir esto indicando que QR es congruente con SR debido a CPCTC nuevamente.

Resumen de la lección

En resumen, hemos aprendido sobre la pierna hipotenusa , o HL , teorema . Esto nos dice que si un cateto y la hipotenusa de un triángulo rectángulo son congruentes con un cateto y la hipotenusa de otro triángulo rectángulo, entonces los triángulos son congruentes. Esta es una de las muchas formas en que los triángulos rectángulos son nuestros amigos.

Es esencialmente una versión modificada del SAS, o postulado de ángulo lateral. Como es un triángulo rectángulo, no necesitamos el ángulo incluido, solo el ángulo recto. Una vez que hemos determinado que los triángulos son congruentes usando el teorema de HL, sabemos que los tres lados y ángulos correspondientes son congruentes.

Resultado de aprendizaje

Al final de esta lección, deberías poder enunciar el teorema de la hipotenusa del cateto de los triángulos congruentes y usarlo para demostrar la congruencia.

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