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Encontrar antiderivadas usando condiciones iniciales

Publicado el 24 noviembre, 2020

Antiderivadas

Suponga que está hojeando los canales de su televisor y se encuentra con un escenario interesante. Un hombre llamado Derek está intentando batir el récord de la ciudad de la cantidad máxima de tiempo que una pelota, lanzada hacia arriba, tarda en golpear el suelo.

El récord de la ciudad actual es 9.3114 segundos. Mientras Derek realiza su tercer y último intento, aparece una calculadora de velocidad en la pantalla que dice que la pelota salió de su mano a una altura de 5 pies y con una velocidad inicial de 150 pies por segundo.


Condiciones iniciales
nulo

En ese momento, se corta la luz y no puedes ver si Derek tuvo éxito. ¡No se preocupe! Con un poco de información, podemos determinar si el registro de la ciudad actual vivirá para ver otro día usando una herramienta matemática llamada antiderivadas.

En términos técnicos, si F ( x ) es la derivada de f ( x ), entonces la antiderivada de F ( x ) es f ( x ) + C , donde C es una constante. Considere un ejemplo simple:

  • Dado que 1 es la derivada de x , la antiderivada de 1 es x + C , donde C es una constante.

Observe que cuando calculamos las antiderivadas en general, terminamos con la constante C , por lo que tenemos una antiderivada general de una función. Sin embargo, cuando se nos dan algunas condiciones iniciales, podemos dar un paso más y encontrar el valor de esa constante dando una antiderivada específica.

Encontrar antiderivadas usando condiciones iniciales

Para encontrar la antiderivada específica, llámela f ( x ), de una función F ( x ) dada la condición inicial de que f ( a ) = b , usamos los siguientes pasos:

  1. Encuentra la antiderivada general de F ( x ), con su constante C .
  2. Conecte las condiciones iniciales en el antiderivada general y despejar C .
  3. Inserte C en la fórmula de antiderivada general para obtener la antiderivada específica.

Nuevamente, considere nuestro ejemplo simple anterior. Supongamos que queremos encontrar la antiderivada específica, llamémosla f ( x ), de la función F ( x ) = 1, y se nos da la condición inicial de f (2) = 6.

En primer lugar, nos encontramos con la antiderivada general, lo que hicimos antes, como f ( x ) = x + C . A continuación, conectamos nuestras condiciones iniciales y resolvemos para C :

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Obtenemos que C = 4, así que simplemente conectamos esto a la función antiderivada general para obtener f ( x ) = x + 4. Eso no es tan difícil, ¿verdad? ¡Excelente! ¡Usemos toda esta información para averiguar si Derek obtuvo su récord de ciudad!

Ejemplo

Queremos saber cuánto tiempo tardó la pelota que Derek lanzó en golpear el suelo. Para resolver esto, necesitamos encontrar la función de posición que representa la altura de la pelota con respecto al tiempo ( h ( t )), igualarla a 0 y resolver para t . ¡Veamos cómo hacer esto!

Dado que la derivada de una función de posición es la función de velocidad y la derivada de una función de velocidad es la función de aceleración, tenemos lo siguiente:

  • La antiderivada de la función de velocidad es la función de posición.
  • La antiderivada de la función de aceleración es la función de velocidad.

En el escenario de Derek, la aceleración es causada por la gravedad, y la gravedad tiene una aceleración de -32 pies / s 2 , por lo que nuestra función de aceleración es:

  • a ( t ) = -32

¡Todo lo que tenemos que hacer es encontrar la antiderivada específica de esta función para obtener la función de velocidad, y luego encontrar la antiderivada específica de la función de velocidad para obtener nuestra función de posición! ¡Hagámoslo!

Como -32 es la derivada de -32 t , tenemos que la antiderivada de a ( t ) = -32 es la función de velocidad:

  • v ( t ) = -32 t + C

Se nos da que la velocidad inicial de la pelota es de 150 pies / s, por lo que v (0) = 150. tapar esto en nuestra función de la velocidad, y resolver para C .

antiinitcond3

Obtenemos que C = 150, así que lo conectamos a nuestra función de velocidad:

  • v ( t ) = -32 t + 150

Ahora encontramos la función de posición encontrando la antiderivada de la función de velocidad. La derivada de -16 t 2 + 150 t es -32 t + 150, entonces la antiderivada de v ( t ) = -32 t + 150 es:

  • h ( t ) = -16 t 2 + 150 t + C

Para encontrar C , miramos de nuevo a nuestras condiciones iniciales. Se nos dice que la pelota salió de la mano de Derek a 5 pies en el aire, entonces h (0) = 5. Conectamos esto en h ( t ).

antiinitcond4

¡Casi estámos allí! Conectamos C = 5 en nuestra función de posición para obtener:

  • h ( t ) = -16 t 2 + 180 t + 5.

¡Ah-ja! ¡Tenemos nuestra función de posición específica para este escenario! Ahora, dado que la pelota golpea el suelo cuando la altura es 0, solo necesitamos resolver h ( t ) = 0.

antiinitcond5

Obtenemos que h ( t ) = 0 cuando t ≈ -0.03322 y cuando t ≈ 9.40822. Dado que lo negativo no tiene sentido en este escenario, ¡tenemos que la pelota golpea el suelo después de 9.40822 segundos! ¡El lo hizo! ¡Consiguió el récord por poco más de una décima de segundo!

Resumen de la lección

Si F ( x ) es la derivada de f ( x ), entonces la antiderivada de F ( x ) es f ( x ) + C , donde C es una constante. Podemos encontrar antiderivadas generales simplemente usando varias fórmulas y reglas. Sin embargo, a veces solo se nos dan las condiciones iniciales sobre la antiderivada.

Cuando este es el caso, podemos usar esas condiciones iniciales para encontrar un valor real para la constante C en la antiderivada y encontrar una antiderivada específica para un escenario dado.

Para hacer esto, usamos unos simples pasos:

  1. Encuentra la antiderivada general de F ( x ), con su constante, C .
  2. Conecte las condiciones iniciales en el antiderivada general y despejar C .
  3. Inserte C en la fórmula de antiderivada general para obtener la antiderivada específica.

Recuerda también que:

  • La antiderivada de la función de velocidad es la función de posición.
  • La antiderivada de la función de aceleración es la función de velocidad.

Encontrar una antiderivada específica para un escenario dado es extremadamente útil en la resolución de problemas del mundo real, ¡así que asegúrese de tener en cuenta este método para uso futuro!

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