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Encontrar diferenciales de funciones: definición y ejemplos

Publicado el 24 noviembre, 2020

Dar un paseo por un gráfico

Imagínese reduciéndose al tamaño de la gráfica de una función. Si fuera una línea horizontal, caminaría sobre una superficie plana. Si la gráfica fuera una línea con una pendiente poco profunda, estaría caminando cuesta arriba o cuesta abajo dependiendo de si la línea tiene una pendiente positiva o negativa. Si la gráfica fuera de la función sinusoidal, estarías caminando cuesta arriba y cuesta abajo dependiendo de la parte de la ola en la que te encuentres.


Subir la empinada pendiente positiva de una función
caminando

La definición formal de diferencial es el cambio en la función con respecto al cambio en la variable independiente. El formato general de un diferencial es

1

La razón de dy a dx es la pendiente de la gráfica de una función en un punto específico, que se llama derivada . Podemos reescribir esta ecuación como el diferencial de dy dándonos

2

Donde f ‘(x) es la derivada de la función con respecto ax .

Usemos este formato general para encontrar el diferencial de varias funciones.

Hallar el diferencial de una función

Hay muchos tipos diferentes de funciones en varios formatos, por lo tanto, necesitamos tener algunas herramientas generales para diferenciar una función en función de lo que es. Nos centraremos en cuatro procesos para tomar derivadas:

  • la regla del poder
  • la regla del producto
  • la regla del cociente
  • las derivadas de las tres funciones trigonométricas

Tomemos nuestra caja de herramientas derivada y veamos cómo aplicar el uso de estas herramientas.

La regla del poder

La regla de la potencia se ejecuta multiplicando el exponente de la variable por su coeficiente para obtener el nuevo coeficiente de la variable. Luego reducimos el exponente de la variable en 1. Veamos un ejemplo de cómo usar la regla de la potencia.

Ejemplo 1

Mensaje: Determine el diferencial de

y

Solución: Comenzamos multiplicando 2 y 4 para obtener 8 y luego bajamos el exponente en el primer término x de 2 a 1, lo que nos da

8x

Tomamos el próximo trimestre y hacemos lo mismo. Multiplicamos el exponente de la x , que es 1, por el coeficiente 2/3. Bajamos el exponente de la x en 1, lo que nos da x 0 , que es 1. Esto significa que la variable desaparece y nos da

23

El último término es 1/2 sin variable. Podemos reescribir esto como (1/2) t 0 y seguir el mismo patrón que hemos estado siguiendo. 0 por 1/2 es 0, lo que significa que la derivada de una constante es cero. Ahora juntamos todos estos términos dándonos

ex1_answer

Finalmente, podemos poner esto en el formato diferencial que discutimos antes dándonos

ex1ans

La regla del producto

La regla del producto es cómo determinar el diferencial de una función cuando hay términos que se multiplican. Usamos la plantilla

pr

dónde

  • f ‘es la derivada del primer término
  • g ‘es la derivada del segundo término

Veamos cómo usar la regla del producto a través de un ejemplo.

Ejemplo 2

Mensaje: Determine el diferencial de

ex2

Solución: x 1/3 es la f en la ecuación de la regla del producto y ( x 26x ) es la g en la regla del producto. Primero tomamos la derivada de f usando la regla de la potencia que aprendimos antes, dándonos

ex2part1

Multiplicamos esto por el término g que nos da

f_prime_g

Ahora ejecutamos la siguiente parte de la regla del producto donde multiplicamos f por la derivada de g . La derivada de g es

gprime

que ahora multiplicamos por f ‘resultando en

ex2_answer

Poniendo esto en forma diferencial obtenemos

ex2f

Ahora aprendamos sobre la regla del cociente.

Regla del cociente

Hay otra plantilla a seguir cuando tenemos que determinar el diferencial de términos que se dividen. La plantilla es

regla del cociente

donde f es el término en el numerador y g es el término en el denominador.

Un ejemplo nos ayudará a entender cómo usar la regla del cociente.

Mensaje: Determine el diferencial de

ex3

Solución: Comencemos con el numerador de la plantilla diferencial del cociente. Tomaremos la derivada del término f , que es 4x 2 + 3 dándonos

8x

Luego, multiplicamos por el término g . Esto resulta en

ex3part1

Ahora multiplicamos el término f por la derivada del término g . Esto resulta en

ex3_part2

La última parte de la plantilla es cuadrar el término g . Esto nos da

g_squared

Ahora juntamos todas estas piezas siguiendo la regla del cociente que nos da

ex3_final1

Podemos simplificar esta respuesta. El primer paso nos da

paso 1

Simplificar aún más nos da nuestra expresión:

final_final

Poner esto en forma diferencial da como resultado

ex3f

¿Qué pasa con el diferencial de las tres funciones trigonométricas? ¡Vamos a ver!

Derivadas de funciones trigonométricas

Las derivadas de las funciones trigonométricas se dan en la Tabla 1.

Tabla 1: Derivada de funciones trigonométricas
Función Derivado
seno coseno
coseno – seno
tangente seg 2

Trabajemos un ejemplo.

Mensaje: Determine el diferencial de

ex4

Solución: utilizamos la Tabla 1 para determinar el diferencial de esta función. Esto resulta en

ex41

que se puede simplificar para dar

ex4answer

Terminemos el problema poniendo nuestro resultado en forma diferencial:

ex4ans

Resumen de la lección

Un diferencial es el cambio en la función con respecto al cambio en la variable independiente. La razón del diferencial de y al diferencial de x es la pendiente de cualquier línea tangente a la gráfica de una función, también conocida como derivada .

El formato general de un diferencial es

d2

La regla de la potencia se ejecuta multiplicando el exponente de la variable por su coeficiente para obtener el nuevo coeficiente de la variable. Luego bajamos el exponente de la variable en 1.

La regla del producto es

Pro

La regla del cociente es

quo

Las derivadas de las funciones trigonométricas son

Función Derivado
seno coseno
coseno – seno
tangente seg 2

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