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Encontrar el determinante de una matriz de 3×3

Publicado el 8 diciembre, 2020

Preparando el problema

Estamos a punto de repasar cómo encontrar el determinante para una matriz de 3 x 3, pero primero necesitaremos saber qué es un determinante. Un determinante es un solo número específico asociado con una matriz cuadrada específica. Debemos tener en cuenta que los determinantes solo se definen para matrices cuadradas. Echemos un vistazo al proceso utilizado para encontrar el determinante de una matriz específica.

  • Paso 1 – Escribe la matriz

Tenemos que saber en qué estamos trabajando, ¿verdad? Bueno, aquí está la matriz de 3 x 3 que vamos a utilizar para este ejercicio.


Matriz 3 x 3
matriz

El 3 x 3 se refiere al número de filas y columnas en nuestra matriz. Como tiene tres filas y tres columnas, la llamamos matriz de 3 x 3. Dado que el número de columnas y filas es igual, esta es una matriz cuadrada, lo que significa que tendrá un determinante.

  • Paso 2: escribe la matriz con símbolos determinantes

Determinante de una matriz de 3 x 3
determinante de matriz

Solo hay una pequeña diferencia entre esta imagen y la última: los corchetes se han convertido en líneas rectas. Sin embargo, matemáticamente hablando, esto indica una gran diferencia. La matriz representa una serie completa de relaciones entre números, mientras que el determinante es solo un número.

  • Paso 3: escribe la matriz sin corchetes ni símbolos determinantes

Ahora que conocemos la matriz en la que estamos trabajando, qué es un determinante y cómo está escrito, podemos comenzar el proceso de encontrar el determinante. Este paso implica simplemente escribir las columnas y los números sin ningún otro símbolo.


3 columnas de matriz 3 x 3
determinante de matriz

Simple, ¿verdad? Ahora sigamos con el siguiente paso.

  • Paso 4: agregue las dos primeras columnas a la derecha

Ahora, a la derecha de nuestras 3 columnas, agregaremos dos columnas más. Sin embargo, no cualquier columna, simplemente vamos a repetir las dos primeras columnas de nuestra matriz.


3 columnas de matriz de 3 x 3, más las dos primeras columnas repetidas
determinante de matriz

La línea punteada en esta imagen es solo para fines de demostración; no es necesario incluir esto cuando esté trabajando en otros problemas determinantes. Aunque si le ayuda a realizar un seguimiento de dónde se encuentra en el proceso, ciertamente puede mantenerlo.

  • Paso 5: suma las multiplicaciones de la primera diagonal hacia abajo

Mire la imagen a continuación antes de hablar más sobre este paso.


Multiplicación diagonal primero hacia abajo
determinante de matriz

Empiece con el número de la primera fila y la primera columna y multiplique los tres números de la diagonal hacia abajo y hacia la derecha. En la imagen de arriba, estos tres números están rodeados por un círculo. Vamos a sumar los números de las diagonales hacia abajo.

  • Paso 6 – Suma las multiplicaciones de la segunda y tercera diagonales hacia abajo

Repita el paso 5 para la segunda y tercera diagonales hacia abajo. Nuevamente, elegimos los tres números de nuestra matriz extendida que están en una diagonal que va hacia abajo y hacia la derecha. Una vez que tengamos estos números, los multiplicaremos y los sumaremos a nuestra expresión creciente. No multiplique los números en este punto, lo haremos más adelante.


Segunda y tercera multiplicación diagonal hacia abajo
determinante de matriz
  • Paso 7 – Restar multiplicaciones de diagonales ascendentes

Ahora vamos a hacer un proceso similar con las diagonales hacia arriba. Para cada diagonal, todavía vamos a elegir tres números para multiplicar, pero para las diagonales hacia arriba, vamos a restar los términos de la multiplicación en lugar de sumar.


Multiplicación diagonal ascendente
determinante de matriz

¿Notas cómo tenemos un gran signo de resta antes de cada uno de los términos de la diagonal ascendente? Es muy fácil obtener la señal incorrecta en este paso, así que asegúrese de saber por qué está ahí.

  • Paso 8: Calcule los resultados

Ahora que tenemos todos los términos para calcular nuestro determinante, podemos comenzar a hacer las operaciones. Recuerde, un negativo multiplicado por un negativo es un positivo, y si alguno de los multiplicadores es 0, ese término será igual a 0.

Lo que tenemos después de todos los pasos anteriores es:

Determinante de A

= + (1) (3) (2) + (-4) (- 1) (2) + (0) (0) (0) – (2) (3) (0) – (0) (- 1 ) (1) – (2) (0) (- 4)

Cuando evaluamos cada uno de los términos de la multiplicación obtenemos:

= 6 + 8 + 0 – 0 – 0 – 0

Solución

Completar el último paso de nuestro proceso dará una respuesta de 14. Esto significa que el determinante de nuestra matriz resulta ser 14.

¿Cómo se utilizan los determinantes?

Obtener este determinante puede parecer anticlimático porque aún no sabemos cómo usarlo. Los determinantes son muy útiles para matemáticas más avanzadas: valores propios y problemas de vectores propios, por ejemplo. Sin embargo, esos conceptos van más allá de lo que podemos cubrir en esta lección.

Es posible que haya notado que el símbolo del determinante de una matriz se parece mucho al símbolo del valor absoluto y terminamos con un determinante positivo. ¿Significa esto que los determinantes no pueden ser negativos?

Esto parece una suposición razonable, pero resulta ser incorrecta. Para demostrarlo, todo lo que tenemos que hacer es tomar nuestra matriz existente y cambiar el signo de cada término en ella. Cuando revisamos y evaluamos el determinante, obtendremos 14 negativo en lugar de 14. Por lo tanto, los determinantes pueden ser tanto positivos como negativos.

¿Qué pasa con los determinantes cero? Los determinantes pueden ser iguales a cero, pero esto solo ocurre cuando las líneas de la matriz cuadrada dependen unas de otras. Digamos que nuestra matriz representaba una serie de 3 ecuaciones para 3 variables desconocidas y queríamos averiguar cuáles son esas variables. Un determinante de 14, porque no es igual a cero, indica que las tres ecuaciones son independientes entre sí, lo que a su vez significa que nuestro sistema de ecuaciones tiene una solución singular. Si nuestro determinante fuera cero, esencialmente significaría que tenemos menos de tres ecuaciones independientes, y nuestro sistema de ecuaciones no tendría otra solución que todas las variables iguales a cero.

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