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Encontrar el perímetro y el área de un polígono graficado en un plano de coordenadas

Publicado el 9 diciembre, 2020

Definiciones

Las formas poligonales aparecen en objetos hechos por el hombre y estructuras cristalinas en todo nuestro planeta. Cubitos de hielo cuadrados, paredes rectangulares, señales de alto octágono y formas similares componen el mundo civilizado. Cuando tratamos de averiguar cuánta alfombra comprar, o qué tan lejos está alrededor de un campo de fútbol, ​​entonces los cálculos de área y perímetro se vuelven importantes.

En esta lección, trataremos la idea de encontrar el área y el perímetro cuando no conoce las dimensiones de un objeto, solo las ubicaciones de las esquinas en un plano de coordenadas. Algunos términos para revisar:

  • Un polígono (del griego polugonos , que significa muchos ángulos) es una figura cerrada en un solo plano (no tridimensional) que se compone de lados rectos y al menos tres ángulos.
  • Su perímetro es la distancia alrededor de su borde y su área es la medida de la superficie dentro de él.
  • Un plano de coordenadas es una superficie plana (plano) que utiliza líneas numéricas cruzadas para establecer coordenadas (ubicaciones numeradas) para cada posición en el plano.

Al reunir todo esto, podemos ver que un polígono graficado en un plano de coordenadas sería una figura cerrada con lados rectos dibujados en un plano que tiene coordenadas, o ubicaciones numeradas, para cada punto de esa figura. Debido a que los lados de un polígono son rectos, podemos identificar su posición en el plano usando solo sus esquinas (el vértice de cada ángulo).


Polígono de cinco lados graficado en un plano de coordenadas
Polígono en gráfico

Encontrar el perímetro de un polígono graficado

El perímetro de cualquier polígono se puede encontrar sumando las longitudes de sus lados. Por ejemplo, si tiene un polígono de seis lados con lados de 1 ”, 3 ”, 5 ”, 4 ”, 3 ” y 2 ” de largo, sumaría los números. 1 + 3 + 5 + 4 + 3 + 2 = 18, por lo que el perímetro de ese hexágono sería de 18 pulgadas.

Lo que pasa con un polígono graficado es que generalmente tienes que calcular la longitud de sus lados para obtener el perímetro. A diferencia del ejemplo, donde nos dieron la longitud de cada lado, un gráfico simplemente le dice dónde están las esquinas.

Entonces, ¿cómo se calcula el perímetro sin las longitudes de los lados? Bueno, si un lado es horizontal o vertical, es aritmética simple. Echemos un vistazo a un polígono de cinco lados graficado que se muestra.


Usando el Teorema de Pitágoras para calcular el perímetro
Cálculos de polígono de imagen

Observe que las dos esquinas más a la derecha (6,5 y 6, -1) tienen el mismo valor de x . Eso significa que la longitud de ese lado será simplemente la diferencia entre los valores de y . De 5 a -1 es una longitud de 6, por lo que ahora sabemos la longitud de uno de los lados.

Los otros no son tan simples. ¿Cómo calculamos una longitud si hay una diferencia en los valores de x e y ? Bueno, el Teorema de Pitágoras (en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados) nos da la clave. Cualquier borde de un polígono graficado puede expresarse como la hipotenusa de un triángulo. Un lado será la diferencia entre los valores de x , mientras que el otro será la diferencia entre los valores de y . Usando esas dos longitudes, más el Teorema de Pitágoras, puedes obtener la hipotenusa, que es la longitud del lado que estás buscando.

Cada uno de los lados en el ejemplo (que no sea el azul fácil) se calcularon construyendo un triángulo rectángulo que tenía el lado desconocido como su hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto). Al sacar la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los otros dos lados del triángulo, puedes calcular la hipotenusa: la longitud del lado que estás buscando.

Hallar el área de un polígono graficado

Una forma de encontrar el área de cualquier polígono es encontrar áreas de todas sus secciones internas y luego sumarlas. Por ejemplo, si tuviera un polígono hecho de un cuadrado pegado a un triángulo, podría calcular el área del polígono sumando el área del cuadrado al área del triángulo.

Entonces, ¿cómo funciona eso para nuestro polígono graficado? Bueno, dado que está graficado, podemos definir secciones del área interior con bastante facilidad. Echemos un vistazo a un ejemplo.


Calculando el Área
imagen Encontrar el área de un polígono

Puedes ver cómo dividimos la figura en pedazos manejables. Cada sección es un triángulo rectángulo (triángulo con un ángulo de 90 grados) o un rectángulo. Eso nos permite usar fórmulas estándar para calcular las áreas.

El área de cada rectángulo es solo la base (diferencia en el valor de x ) multiplicada por la altura (diferencia en el valor de y ). El área es la base por la altura ( bh ) también para los triángulos, solo que la cortas por la mitad. Súmalos todos y obtendrás el área de la figura.

Este enfoque funcionará para cualquier polígono graficado.

Resumen de la lección

Los polígonos son figuras cerradas de lados rectos en un plano con al menos tres ángulos. Cuando se grafican en un plano de coordenadas (superficie plana marcada con líneas numéricas cruzadas para establecer ubicaciones), solo se conocen las coordenadas de las esquinas.

Encontrar el perímetro (distancia alrededor del borde) se realiza sumando las longitudes de los lados. Las longitudes de los lados se pueden encontrar usando el Teorema de Pitágoras , que dice que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados.

Encontrar el área (tamaño de la superficie dentro del polígono) implica dividir el polígono en formas prácticas, luego calcular el área de esas formas y sumarlas.

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