Encontrar la segunda derivada: fórmula y ejemplos

Fórmula

La segunda derivada se define como la derivada de la primera derivada. Su símbolo es la función seguida de dos apóstrofos.

El segundo símbolo derivado.

La fórmula para calcular la segunda derivada es esta.

La fórmula de la segunda derivada.

Lo que esta fórmula le dice que haga es tomar primero la primera derivada. Luego, tomaría la derivada de la primera derivada para encontrar su segunda derivada. He omitido la (x) junto a la f, ya que eso habría dificultado la lectura de la notación.

Trabajémoslo con un ejemplo para verlo en acción. Encontremos la segunda derivada de la siguiente función.

Encuentra la segunda derivada de esta función.

Paso uno: encontrar la primera derivada

Nuestro primer paso es tomar la primera derivada de nuestra función. Nuestra función es un polinomio, por lo que calcularemos la derivada de cada término usando la regla de la potencia. Como recordará, un polinomio es simplemente una expresión matemática que contiene tanto constantes como variables.

Tomando la primera derivada.

Recuerda que para cada término, la regla de la potencia te dice que debes multiplicar el número por el exponente y luego reducir el exponente por 1. Entonces, para nuestro primer término, x ^ 4, multiplicamos nuestro número 1 por 4 para obtener 4. Nosotros luego reduzca el exponente en 1 para obtener 3. Por lo tanto, nuestra primera derivada para nuestro primer término es 4x ^ 3. Lo mismo haríamos con nuestro segundo término, 3x ^ 3. Multiplicamos el número 3 por el exponente 3 para obtener 9. Luego reducimos el exponente por 1 para obtener 2. Por lo tanto, nuestra primera derivada del segundo término es 9x ^ 2. Haciendo lo mismo con el tercer término, obtenemos 16x.

Ahora que hemos obtenido nuestra primera derivada, continuemos con el siguiente paso.

Paso dos: encontrar la segunda derivada

Nuestra primera derivada sigue siendo un polinomio, por lo que continuaremos usando la regla de la potencia para cada término para tomar la derivada de esta función.

Tomando la segunda derivada.

Una vez que hayamos tomado la derivada de la primera derivada, podemos detenernos. Esta es nuestra respuesta. Siguiendo la regla de la potencia, vemos que nuestro primer término de la primera derivada, 4x ^ 3, se convierte en 12x ^ 2 ya que multiplicamos el 4 y el 3 y eliminamos el exponente por 1. El segundo término, 9x ^ 2, hemos hecho lo mismo multiplicando el 9 y el 2 y eliminando el exponente por 1 también. El último término, 16x, tiene un exponente de 1, entonces multiplicamos el 16 por 1 y luego dejamos caer el exponente de 1 a 0, convirtiendo la x en un 1. Nuestro último término para nuestra segunda derivada es 16.

Probemos con algunos ejemplos más.

Ejemplos

Intentemos tomar la segunda derivada de esta función.

Encuentra la segunda derivada.

Esta es una función simple. Entonces, dime, ¿qué debemos hacer primero? Sí, deberíamos tomar la primera derivada de esta función. ¿Qué regla debemos aplicar? Sí, necesitamos aplicar la regla de poder nuevamente. Sigamos adelante y hagamos eso para ver qué obtenemos.

La primera derivada.

Todo se ve bien. ¿Cuál es nuestro próximo paso? Nuestro siguiente paso es tomar la derivada de la primera derivada. Hagamos eso para encontrar nuestra respuesta.

La segunda derivada.

Hemos vuelto a aplicar la regla del poder para ayudarnos. Nuestra respuesta es 6x después de que todo está dicho y hecho.

Probemos uno más. Esta vez, no diré nada. Vea si puede seguirlo.

Encontrar la primera y segunda derivada.

He usado la regla de la potencia para ayudarme a encontrar la segunda derivada del primer término. Dado que el segundo término es e ^ x, sé que la derivada de e ^ x es siempre e ^ x, por lo que ese término permanece igual en todo momento.

Tenga en cuenta que cuando esté tomando derivados, utilice las reglas de derivados que existen para ayudarle. Hacen su vida más simple al darle reglas a seguir que facilitan la derivación.

Resumen de la lección

La segunda derivada es la derivada de la primera derivada. Terminas tomando la derivada dos veces. Necesitará utilizar las reglas de derivadas y las propiedades de las derivadas como ayuda.

Término clave

• segunda derivada: definida como la derivada de la primera derivada. Su símbolo es la función seguida de dos apóstrofos.

Resultado de la lección

Muestre su capacidad para calcular la segunda derivada de una función cuando haya estudiado suficientemente la lección.