Rodrigo Ricardo

Encontrar la serie de Maclaurin para Cos (x)

Publicado el 24 noviembre, 2020

Serie Taylor

Es posible que haya utilizado la serie Taylor en algunos de sus cursos. En esta lección, exploraremos una serie basada en la serie de Taylor.

Nuestro ejemplo de serie de coseno le dará una respuesta que podría obtener fácilmente con su calculadora. Entonces, ¿por qué molestarse con la serie? Bueno, ¿y si tuviéramos algún valor de x cuyo coseno no se conociera? ¿O qué pasaría si quisiéramos probar que la derivada de sin ( x ) es cos ( x )? Esta serie es la habilidad matemática para tales aplicaciones.

Básicamente, si tenemos una función que podemos diferenciar, la serie de Taylor proporciona una suma de los términos que aproximarán la función. La forma compacta de escribir la serie de Taylor usa la notación de suma:

Taylor_series

La variable, a , establece una ubicación. Para valores de x cercanos a a , se pueden usar menos términos para dar una aproximación cercana. Sin embargo, elegir a = 0 simplificará la suma y nos dará buenas expresiones. Cuando a = 0, la serie de Taylor se convierte en:

a = 0_en_la_serie_Taylor

En realidad, ( x – 0) n es realmente solo x n . Así, obtenemos la serie que llamamos serie Maclaurin .

the_Maclaurin_series

Escribamos algunos de los términos de la serie de Maclaurin:

primeros_cinco_términos_de_la_serie_Maclaurin

Aquí hay algunas cosas a tener en cuenta:

  • f (0) (0) es solo la función f ( x ) con x = 0
  • f (1) (0) es la primera derivada de f ( x ) evaluada en x = 0
  • 0! es ” 0 factorial ” e igual a 1
  • 1! también es igual a 1

Los primeros términos ahora se simplifican a:

simplified_first_five_terms

Ahora necesitamos algunas derivadas. La derivada de cos ( x ) es -sin ( x ) y la derivada de sin ( x ) = cos ( x ). Además, evaluaremos en x = 0. Es bueno saber cos (0) = 1 y sin (0) = 0. Tabulando esta información, tenemos:

F f (1) f (2) f (3) f (4)
Xcos ( x )-pecado ( x )-cos ( x )pecado ( x )cos ( x )
x = 0cos (0) -pecado (0) -cos (0)pecado (0)cos (0)
simplificar 1 0-101

Mire esos primeros términos de la serie Maclaurin. La f ( x ) del lado izquierdo ahora es cos ( x ). En el lado derecho, sustituya de la mesa:

nulo

Simplificando:

nulo

¿Ves cómo el signo alterna entre más y menos? ¿Qué pasa si escribimos (-1) n y sea n 0. Entonces, tenemos (-1) 0 = 1. Y qué pasa si n = 1? Entonces, (-1) 1 = -1. Ahora, (-1) n nos dará signos alternos positivos y negativos ya que n va desde 0, 1,…

Y como n va desde 0, 1,… podríamos considerar x 2 n . Esto nos da 1, x 2 , x 4 ,… Podemos usar la misma idea para el factorial en el denominador. Juntando todo esto, obtenemos una bonita expresión compacta para la serie Maclaurin para cos ( x ):

suma_expresión_para_Maclaurin_cosine

Hay un detalle más que preocuparse: la convergencia . Cuando una serie converge, nos acercamos a la respuesta real a medida que agregamos más y más términos. A veces, cuando continuamos agregando términos en la serie, la aproximación resultante empeora en lugar de mejorar. Empeorar normalmente significa que la serie llega al infinito para algunos valores de x . Hay pruebas de convergencia en las que no entraremos en esta lección. Afortunadamente para nosotros, la serie de Maclaurin (y la serie de Taylor) para cos ( x ) converge para todos los valores de x . Hagamos un ejemplo.

Aproximación del coseno

La función coseno es la curva familiar:


Coseno para valores positivos y negativos de x
Coseno_para_ambos_valores_negativos_y_positivos_de_x

Usando una calculadora o nuestro conocimiento de triángulos, ya sabemos cos (2π / 3) = -0.5.

Tracemos la curva del coseno con una línea discontinua. Pondremos una pequeña línea vertical en el eje x para marcar 2π / 3 y un punto azul en la curva.


El punto azul en 0.5 es la respuesta exacta.
El_punto_azul_es_en_.5, _la_respuesta_exacta_para_coseno_de_2 * pi / 3

Veamos cómo la serie de Maclaurin se aproxima a cos (2π / 3).

Comenzaremos con un término: cos ( x ) ≅ 1.

Esto parece realmente demasiado simple. ¡Y es! Tenemos cos (2π / 3) ≅ 1.

En la misma parcela:


Un término de la serie Maclaurin nos da el punto verde.
Un punto verde que usa solo un término en la serie de Maclaurin

Este resultado está bastante lejos del punto azul. Podemos hacerlo mejor usando dos términos:

cos ( x ) ≅ 1 – x 2 /2!

y

cos (2π / 3) ≅ 1 – (2π / 3) 2 /2! = -1,2

Ahora tienen:


Estábamos arriba y ahora estamos debajo de la respuesta exacta.
Estábamos arriba y ahora estamos debajo de la respuesta exacta

¡Pero la aproximación se acerca!

Con tres términos:

cos ( x ) ≅ 1 – x 2 /2! + X 4 /4!

y

cos (2π / 3) ≅ 1 – (2π / 3) 2 /2! + (2π / 3) 4 /4! = -0,4

Ahora estamos muy cerca:


-0,4 está muy cerca de -0,5
-.4 está muy cerca de -.5

Podríamos acercarnos aún más agregando más términos. Un ejemplo se basó en el coseno de 2π / 3, que conocemos. ¿Y si tuviéramos algún valor de x cuyo coseno no se conociera? ¿O qué pasaría si quisiéramos otra expresión para cos ( x ) para ayudarnos con alguna derivación analítica? Estos y otros casos son situaciones en las que saber cómo encontrar y utilizar la serie de Maclaurin para cos ( x ) es una habilidad útil.

Resumen de la lección

La serie de Taylor es una serie infinita basada en la suma de derivadas de una función evaluada en algún punto a . Cuando a es igual a 0, estamos evaluando en el origen. Esta versión de la serie Taylor se llama serie Maclaurin. Generalmente, las expresiones de la serie de Maclaurin son más compactas y darán buenas aproximaciones incluso para valores alejados del origen si se utilizan suficientes términos. La serie de Maclaurin para cos ( x ) converge para todos los valores de x .

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