Encontrar y clasificar secuencias geométricas

Publicado el 18 septiembre, 2020

Secuencias geométricas de vistas de videos de gatos


2×3 ^ 5 representa el sexto término en esta secuencia
Condensación de patrón de secuencia geométrica

Una secuencia es solo un patrón y una secuencia geométrica es un patrón que se genera mediante multiplicaciones repetidas. Cada nuevo término se hace multiplicando el anterior por lo mismo una y otra vez. Por ejemplo, podríamos tener la secuencia geométrica finita 5, 10, 20, 40, 80 comenzando con 5 y multiplicando por 2 cuatro veces. O podríamos obtener la secuencia geométrica infinita 8, 4, 2, 1, ½, ¼,… comenzando con 8 y multiplicando repetidamente por ½, que termina pareciendo muy similar a la división.

Resulta que vemos estos patrones por todas partes. He visto muchos videos de YouTube y he decidido que mi mejor opción para conseguir un video realmente popular es conseguir un gato y seguirlo con una cámara las 24 horas del día, los 7 días de la semana. Seguramente hará algo lindo eventualmente, especialmente si le pongo un sombrero tonto o algo así.

Dentro del primer día de recibir uno de estos videos divertidos probablemente se lo enviaría a mi novia, y luego ambos lo publicaríamos en nuestras paredes de Facebook. Al final del día, seríamos las únicas dos personas que lo hubieran visto. Pero digamos que al día siguiente, 3 de mis amigos y 3 de sus amigos lo vieron, haciendo 6 nuevos éxitos. Luego, si cada una de esas personas pudiera obtener 3 personas más, serían 18 vistas más, y si cada una de esas personas tuviera 3 de sus amigos, ya tenemos 54 vistas más en 4 días (a4 = 54). ! 5 días y obtengo 162 nuevos hits (a5 = 162), 6 días trae 486 (a6 = 486)… ¡ahora estamos llegando a alguna parte!

Es importante tener en cuenta que la secuencia que estamos haciendo en este momento es solo la cantidad de vistas nuevas que obtengo cada día. Averiguar cuántas vistas totales alcanzaremos es algo que guardaremos para una lección posterior. Lo que podemos encontrar ahora es cuántas vistas nuevas obtendría en un día específico. El simple hecho de usar el patrón puede ayudarnos a determinar cuántas visitas obtendría en los primeros días, pero intentar usar el patrón una entrada a la vez para averiguar cuántas visitas nuevas obtendría después de un par de semanas. no solo sería largo y tedioso, también probablemente terminaría cometiendo un error en algún momento del camino.


Fórmula para la cantidad de visitas nuevas para cualquier día n después de la publicación inicial del video
Ejemplo de fórmula de secuencia geométrica

Crear una fórmula de una secuencia geométrica

Lo que preferiría tener es una fórmula que me diga cuántas visitas nuevas obtengo en cualquier momento simplemente sustituyendo un número. Revisar las entradas que se nos ocurrieron hasta ahora nos ayudará a ver el patrón que podemos intentar generalizar en una fórmula. Comenzamos en a1 = 2, luego subimos a a2 = 6 (2×3), luego a3 = 18 (2x3x3), luego 54 sucedió porque multiplicamos por 3 nuevamente (2x3x3x3). Sigo multiplicando por 3, así que el siguiente es 2x3x3x3x3. Podemos comenzar a condensar estas multiplicaciones por 3 en exponentes, lo que significa que el sexto término sería 2×3 ^ 5. Observe que el sexto término tiene un exponente de 5 en el 3. Si condenso los 3 en exponentes en el quinto término, obtengo la cuarta potencia; si los condenso en el cuarto término, obtengo el tercer poder; el tercer término es el segundo; el segundo término es el primero; y al primer término podemos llamar la potencia 0,

Generalizando el patrón para cualquier término, esto significa que para cualquier día n después de que publiqué el video, el número de nuevas visitas es 2×3 ^ n-1. El 2 al frente representa el valor inicial a1, el 3 representa lo que se llamaría la ‘razón común’ y el n-1 representa cuántas veces tuvimos que multiplicar por 3. Es n-1 porque no obtuvimos ninguna hits hasta el segundo día.

Ahora, averiguar cuántos hits nuevos obtendré después de dos semanas es bastante sencillo. Quiero saber cuántos hits nuevos voy a conseguir en el día 14, así que sustituimos 14 por n. Eso nos da que a14 = 2×3 ^ (14-1) potencia. Hacemos 3 ^ 13 de potencia y obtenemos 1,594,323. Multiplicamos eso por 2 y resulta que 14 días después de que publiqué el video, ¡obtengo 3,188,646 nuevas visitas! ¡Mi gato se ha vuelto viral oficialmente! Pronto habrá un meme basado en su imagen.


La regla general para el enésimo término de una secuencia geométrica
Regla general de secuencia geométrica

Lo que se nos ocurrió es la regla general para el enésimo término de una secuencia geométrica, an = a1r ^ n-1 . Esto en realidad es bastante similar a una función exponencial, solo se han cambiado las letras. An es el enésimo término general, a1 es el primer término, r es la razón común , o la cantidad que multiplicamos por cada paso del camino. Se llama razón común porque si divide dos términos consecutivos, obtendrá lo mismo. Por último, la n en la potencia n-1 es cualquier término que esté tratando de averiguar. Aparentemente, si puedes crear un video de YouTube que tenga una proporción común de 3, ¡estás en camino al estrellato en Internet!

Encontrar una secuencia geométrica usando términos

También podemos llegar a la regla de una secuencia geométrica simplemente dándonos dos entradas. Digamos que sabemos que a3 = 9/4 y a6 = 243/32. Queremos saber cuál es la regla para el enésimo término. Me gusta dibujar esto visualmente para que sepamos qué está pasando. No sé cuál es el primer término o el segundo término, pero sí sé que el tercer término es 9/4. El cuarto término y el quinto término me son desconocidos, pero el sexto término es 243/32. Debido a que es una secuencia geométrica, sé que cuando comencé con mi tercer término (9/4) simplemente multipliqué por r tres veces seguidas para obtener mi sexto término, lo que significa que 9 / 4r ^ 3 = 243/32 .

Ahora lo que configuré es una ecuación que puedo resolver usando operaciones inversas para averiguar cuál debe ser la razón común r. Deshago la multiplicación por una fracción multiplicando por su recíproco, 4/9, lo que me da 27/8 en el lado derecho. Luego puedo deshacer un tercer poder con una tercera raíz. Tomo la raíz al cubo de ambos lados y encuentro que la raíz al cubo de 27 es 3 y la raíz al cubo de 8 es 2, y encuentro que nuestra razón común es 3/2. Lo único que se necesita para nuestra regla además de r es a1, lo que significa que tengo que trabajar hacia atrás para encontrar a1. Puedo volver a mi imagen y dividir por r. Divido una vez entre 3/2 y obtengo 3/2, y divido una vez más entre 3/2 y encuentro que a1 es simplemente igual a 1. Esto significa que mi regla an = a1r ^ n-1 es an = 1 x 3/2 ^ n-1. Debido a que multiplicar por 1 en realidad no cambia nada,


Regla de secuencia geométrica para el problema de ejemplo final
Ejemplo de regla de secuencia geométrica

Resumen de la lección

Una secuencia geométrica es un patrón de números generado por multiplicaciones repetidas, similar a las funciones exponenciales. Debido a que es similar a una función exponencial, la regla general para una secuencia geométrica tiene un exponente y obtenemos an = a1r ^ n-1 como regla para el enésimo término de una secuencia geométrica. Esta regla general puede ayudarnos a encontrar los términos de una secuencia geométrica que están lejos del principio.

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