Entender los círculos con desigualdades

Ubicación de un punto

Digamos que está buscando una nueva casa para alquilar en una nueva ciudad. Desea poder ir en bicicleta al trabajo, por lo que decide buscar solo casas que se encuentren dentro de un radio de 5 millas de su nuevo trabajo. ¿Cómo se puede determinar si una casa determinada está dentro del radio de 5 millas, en el círculo exacto formado por ese radio de 5 millas, o más lejos que el radio de 5 millas?

Las reglas de límites

Usamos desigualdades para determinar estos límites, que es un concepto bastante simple de seguir:

• Si el punto (su nuevo hogar) forma una solución que es exactamente IGUAL A (=) el radio dado al cuadrado, usted sabe que el punto está EN el círculo.
• Si el punto forma una solución que es MAYOR que (>) el radio al cuadrado, sabes que el punto se encuentra FUERA del círculo.
• Si el punto forma una solución MENOS QUE (<) el radio al cuadrado, sabes que el punto está DENTRO del círculo.

¡Es así de simple!

Círculos con centro en el origen

Por ejemplo, la forma estándar de una ecuación de un círculo con su centro en el origen (0,0) es x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2, donde el punto ( x , y ) representa cualquier punto que debería estar en el círculo y r es el radio.

Ejemplo 1

Veamos un ejemplo específico y probaremos varios puntos. Dada la ecuación de un círculo con un centro en (0,0) y r = 5, se vería así: x ^ 2 + y ^ 2 = 5 ^ 2 y podemos simplificar eso a:

x ^ 2 + y ^ 2 = 25.

• Cualquier solución ( x , y ) que haga que x ^ 2 + y ^ 2 = 25 sea verdadera será un punto en el círculo.
• Cualquier solución ( x , y ) que haga que x ^ 2 + y ^ 2 > 25 sea verdadera será un punto fuera del círculo.
• Cualquier solución ( x , y ) que haga que x ^ 2 + y ^ 2 < 25 sea verdadera será un punto dentro del círculo.

Ahora probemos varios puntos.

Dado el punto (3, 4), ingresamos esos valores en la ecuación x ^ 2 + y ^ 2 = 25, y luego simplificamos:

x ^ 2 + y ^ 2 = 25

3 ^ 2 + 4 ^ 2 = 25

9 + 16 = 25

25 = 25

Dado que el punto (3, 4) nos da una solución (25) que es igual a 25, podemos decir con seguridad que el punto (3, 4) está justo en el círculo.

Pruebe el punto (-5, 2). Plug en los valores de x y y en la misma ecuación ‘x ^ 2 + y ^ 2 = 25, y luego simplificar:

(-5) ^ 2 + (2) ^ 2 = 25

25 + 4 = 25

29 = 25 ???

Aquí mismo podemos ver que ya no tenemos una ecuación , porque los dos lados no son iguales. Necesitamos cambiar esto a un símbolo de desigualdad:

29> 25

Dado que nuestra solución para el punto (-5, 2) es MAYOR QUE 25, podemos decir que el punto (-5, 2) se encuentra fuera del círculo dado. De la misma manera, si la solución hubiera resultado en un número menor que 25, podríamos determinar que el punto estaría dentro del círculo.

Círculos con centro no en el origen

Cuando el centro del círculo no está en el origen, tenemos una versión expandida de la ecuación para acomodar la ubicación del centro del círculo: ( x – x 1 ) ^ 2 + ( y – y 1 ) ^ 2 = r ^ 2, donde ( x 1 , y 1 ) es el centro.

Ejemplo 2

Por ejemplo, si el centro se desplaza hacia la derecha 3 unidades y hacia abajo 2 unidades, decimos que el centro está en C (3, -2). Si mantenemos el radio de 5, nuestra nueva ecuación se vería así:

( x – 3) ^ 2 + ( y – -2) ^ 2 = 5 ^ 2

Simplifica: ( x – 3) ^ 2 + ( y + 2) ^ 2 = 25.

Tenga en cuenta que al mirar esta nueva ecuación, el punto central se ve como el signo opuesto al que ve en la ecuación; el centro es (3, -2), no (-3, 2). ¡Ten cuidado con eso!

Ejemplo 3

Aquí hay otro ejemplo: ( x + 7) ^ 2 + ( y + 1) ^ 2 = 16. ¿Cuál crees que es el centro de este círculo?

Si dijiste C (-7, -1) ¡estarías en lo correcto!

¿Y cuál es el radio de este círculo? El radio es 4. (Recuerde, 16 representa r ^ 2).

Determinemos si un punto está en el círculo, o en el interior o exterior del círculo.

Si usamos el punto (-3, 1), veremos cómo se relaciona la solución con 16.

(-3 + 7) ^ 2 + (1 + 1) ^ 2 = 16

(4) ^ 2 + (2) ^ 2 = 16

16 + 4 = 16

20> 16

Como 20> 16, por lo tanto, el punto (-3, 1) se encuentra fuera o en el exterior del círculo.

Podríamos haber escrito esto como una desigualdad desde el principio. ( x + 7) ^ 2 + ( y + 1) ^ 2 > 16; entonces sabemos que estamos buscando el conjunto de todos los puntos, o al menos un punto, en el exterior del círculo. De manera similar, si escribimos ( x + 7) ^ 2 + ( y + 1) ^ 2 < 16, entonces estaríamos buscando un punto que se encuentra en el interior del círculo.

Resumen de la lección

La determinación de que un punto particular caerá es sólo una cuestión de conectar los valores de x e y , a continuación, determinar si la afirmación es cierta.

Mirando la ecuación ( x – x 1 ) ^ 2 + ( y – y 1 ) ^ 2 = r ^ 2, podemos ver que el centro estará ubicado en ( x 1 , y 1 ), y el radio será el raíz cuadrada de r ^ 2.

• Para ( x – x 1 ) ^ 2 + ( y – y 1 ) ^ 2 = r ^ 2, las soluciones caerán en el círculo.
• Para ( x – x 1 ) ^ 2 + ( y – y 1 ) ^ 2 < r ^ 2, las soluciones caerán dentro del círculo.
• Para ( x – x 1 ) ^ 2 + ( y – y 1 ) ^ 2 > r ^ 2 las soluciones caerán fuera del círculo.

Y así es como se usan las desigualdades para ubicar un punto alrededor de un círculo.