Establecer notación, desigualdades compuestas y sistemas de desigualdades

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Entender las desigualdades

Hemos aprendido que una desigualdad es solo una ecuación que tiene un símbolo mayor o menor que en lugar de un signo igual, y nos ayudan a decir cosas como ‘Necesito al menos un 80% para obtener una B en mi examen de historia’ o ‘la cantidad de dinero que gasto en videojuegos y boletos de avión tiene que ser menos de $ 3,000’. El primer ejemplo fue una desigualdad de 1 variable porque el único tema que se discutió fue la puntuación de una prueba, mientras que el segundo fue una desigualdad de 2 variables porque había videojuegos y boletos de avión involucrados.

Desigualdades compuestas

Pero a veces será el caso de que queramos ser más específicos que estos dos últimos ejemplos. En lugar de decir ‘Necesito al menos un 80% para una B’, en realidad sería más exacto decir ‘Necesito entre un 80% y un 90% para obtener una B’. Cuando cambiamos ‘mayor que 80’ por ‘entre 80 y 90’, cambiamos esta única desigualdad en una desigualdad compuesta porque ahora tiene dos condiciones: x ≥ 80 yx <90. En este caso, para un número, x , para ser parte de la solución, ambas condiciones deben cumplirse. Por ejemplo, un 92 es mayor o igual que 80, pero no es menor que 90. Por lo tanto, no es un B.

Esto también cambia nuestro gráfico de un solo punto con una flecha que va indefinidamente en una dirección, a dos puntos con un segmento de línea que los conecta. Obtenemos esta imagen graficando una desigualdad a la vez y luego viendo dónde se superponen las dos gráficas. Podemos comenzar graficando x ≥ 80. Ponemos un círculo cerrado en 80 y dibujamos una flecha hacia la derecha para indicar que la respuesta podría ser cualquier número 80 o más. A continuación, graficamos x<90 poniendo un círculo abierto en 90 y dibujando una flecha que va hacia la izquierda para indicar que la respuesta puede ser cualquier número menor que 90. Pero luego debemos recordar que la solución es el espacio donde ambos son verdaderos. Esto significa que la única parte del gráfico que queremos es donde se superponen, y lo que terminamos es una línea que conecta nuestros dos puntos. Una desigualdad compuesta en la que se deben satisfacer ambas condiciones se llama desigualdad compuesta ‘y’ y tendrá una gráfica con un solo intervalo, como esta.

Gráfico de un ~

Pero también podemos tener lo que se llama ‘o’ desigualdades compuestas. Por ejemplo, si, en cambio, estuviéramos describiendo las diferentes formas en que podría obtener algo diferente a una B, querríamos decir que podría obtener menos de 80 o mayor o igual a 90. Ahora, en lugar de tener que satisfacer Ambas condiciones como antes, la respuesta puede satisfacer cualquiera y aún así estar bien. Obtener menos de 80 es una forma de no obtener una B, pero obtener 90 o más es otra forma. Ambos trabajan.

Por ejemplo, un 72% es menos de 80, por lo que no es una B. No importa que tampoco sea mayor que 90. Solo tiene que cumplir una de las condiciones. Esto significa que nuestro gráfico también es un poco diferente. De nuevo serán dos flechas, pero esta vez no necesitaremos que se superpongan. Podemos poner un círculo abierto en 80 y dibujar nuestra flecha hacia la izquierda mostrando que todos los valores menores a 80 están incluidos. Luego, podemos poner un círculo cerrado en 90 y dibujar nuestra flecha hacia la derecha para mostrar que se incluyen todos los valores mayores o iguales a 90. Nuevamente, no nos preocupa dónde se superponen estos gráficos porque satisfacer cualquiera de estas condiciones es suficiente; no tienen que satisfacer ambos para no ser una B. Una desigualdad compuesta en la que solo se debe satisfacer una condición se llama ‘o’ y tendrá un gráfico con dos intervalos que se ve así:

Gráfico de un ~

Establecer notación y notación de intervalo

Antes de continuar, hablemos de dos notaciones matemáticas que se usan comúnmente para describir los conjuntos de soluciones de desigualdades compuestas. El primero se llama notación de conjuntos . Si tuviéramos que escribir el conjunto de soluciones en nuestra desigualdad compuesta ‘y’ en notación de conjuntos, se vería así:

{ x | x > 80 yx <90}

Lo que esto dice literalmente es que el conjunto de soluciones son todos los valores de x , de manera que x es mayor o igual que 80 y menor que 90. En caso de que se lo pregunte, el símbolo de la línea vertical, |, se traduce como la frase ‘tal ese.’ Es posible que a veces veas dos puntos en lugar de la línea vertical, pero significan exactamente lo mismo. El conjunto de solución de una desigualdad compuesta ‘o’ se escribe de la misma manera, pero con la palabra ‘o’ usado en lugar de ‘y’:

{ x | x <80 o x > 90}

Esto dice que el conjunto de soluciones son todos los valores de x , de modo que x es menor que 80 o mayor o igual que 90.

Continuando, la segunda notación que podemos usar se llama notación de intervalo . Esta notación es especialmente compacta y se usa con más frecuencia que la notación de conjuntos para expresar conjuntos de soluciones de desigualdades compuestas. Por ejemplo, la respuesta a nuestra desigualdad compuesta ‘y’ podría expresarse usando notación de intervalo como esta: [80,90)

El primer número es el límite inferior y el segundo es el límite superior. El corchete de apertura, [, indica que 80 está incluido en la solución y es equivalente a decir mayor o igual a. El paréntesis de cierre en el otro extremo,), indica que 90 no está incluido en la solución y es lo mismo que decir menos que.

Expresar la solución a las desigualdades compuestas es un poco más complicado porque hay dos intervalos en la solución en lugar de uno. Si expresamos la solución a nuestro ejemplo anterior de cómo no obtener una B, le gustaría esto: [0, 80) U [90,100]

El símbolo, U, en el medio significa unión y significa que ambos conjuntos son parte de la solución. El primer conjunto dice que cualquier cosa desde 0 hasta, pero sin incluir 80, no es una B, y el último nos dice que cualquier cosa entre 90 y 100 tampoco es una B. Nuevamente, los números nos dicen los límites y los corchetes y los paréntesis nos dicen si el límite es o no parte de la solución.

Sistema de Desigualdades

Así como podemos tener múltiples desigualdades de 1 variable en un solo problema, también podemos tener múltiples desigualdades de 2 variables en un solo problema. Cuando esto sucede, se llama sistema de desigualdades .

Podemos graficar un sistema de desigualdades trabajando con una desigualdad a la vez. Por ejemplo, ¿qué pasaría si se nos pidiera que encontráramos el área de la gráfica donde las dos siguientes desigualdades fueran verdaderas?

  • y > x + 1
  • y ≤ – x + 5

Comenzaríamos graficando la primera desigualdad, y > x + 1, en nuestro plano de coordenadas, obteniendo esto.

gráfico1

Entonces podríamos graficar la segunda desigualdad, y ≤ – x + 5 directamente encima de ella para obtener esto.

gráfico2

Como queremos saber dónde son verdaderas ambas desigualdades, buscamos el área donde se superpone el sombreado, dejando nuestra respuesta como el área púrpura en este gráfico.

Hay momentos en los que un sistema de desigualdades no tendrá solución. Ampliemos nuestro ejemplo anterior agregando una tercera desigualdad: y > -2 x + 50. Queremos saber si hay un conjunto de soluciones para las cuales las tres desigualdades son verdaderas. Como podemos ver en el gráfico, hay varios lugares donde el sombreado de dos de las tres desigualdades se superpone, pero no hay un área única donde se superponen las tres. Eso significa que no hay solución para este conjunto de tres desigualdades, ¡lo cual es una respuesta perfectamente válida!

gráfico3

Resumen de la lección

Para repasar, las desigualdades compuestas son problemas con dos desigualdades de 1 variable. Si una respuesta debe satisfacer ambas desigualdades, se denomina desigualdad compuesta ‘y’ , pero si satisfacer una de las desigualdades es suficiente para ser una solución, entonces se denomina desigualdad compuesta ‘o’ . Hay dos notaciones matemáticas que se usan comúnmente para describir los conjuntos de soluciones de desigualdades compuestas: notación de conjuntos y notación de intervalo .

Los sistemas de desigualdades son problemas con dos o más desigualdades de 2 variables. Puedes graficar un sistema de desigualdades trabajando con una desigualdad a la vez.

Los resultados del aprendizaje

Una vez que haya terminado con esta lección, debería poder:

  • Explica la diferencia entre una igualdad compuesta ‘y’ y una desigualdad compuesta ‘o’
  • Grafica una desigualdad compuesta
  • Escribe una desigualdad compuesta en notación de conjuntos o intervalos
  • Identificar las soluciones para un sistema de desigualdades.