Factorización por agrupación: pasos, verificación y ejemplos

Factorización

En álgebra, nos encanta construir y nos encanta desarmar. Es como si estuviéramos usando bloques de construcción para hacer una nave espacial, solo que en lugar de bloques, tenemos términos. Y una vez que construimos nuestra nave espacial, nos encanta destrozarla. ¿Soy solo yo? Construí y destrocé muchas naves espaciales cuando era niño. La parte sensacional es el factoring . Factorizar es el proceso de encontrar los factores. Si nuestra nave espacial se ve como 5 x + 10, factorizamos un 5 y obtenemos 5 ( x + 2). Pero, ¿y si nos encontramos con algo como esto?

3 x ^ 2 + 2 x + 12 x + 8

Esa es una nave espacial bastante impresionante. Tenemos cuatro términos aquí. ¿Existe un factor común? Bueno, tres de los términos tienen una x , pero no el último. Los últimos tres términos tienen un factor de 2, pero no 3 x ^ 2. No existe un factor común. ¡Es como si alguien hubiera pegado nuestra nave espacial! Eso no es cool. ¿Y si queremos construir algo más? Necesitamos una forma de romperlo. ¿Cómo factorizas una expresión si no puedes factorizar nada de cada término?

Agrupamiento

La respuesta: agrupación . Con la agrupación, dividimos la expresión en grupos más pequeños que se pueden factorizar. Luego hacemos lo que ya sabemos hacer. Tomemos nuestra expresión y aprendamos sobre los pasos involucrados con la agrupación.

El primer paso es agrupar los dos primeros términos y los dos últimos términos. Piense en estos como conjuntos separados de expresiones. Aquí, hagamos (3 x ^ 2 + 2 x ) y tengamos ese más (12 x + 8). Básicamente tenemos dos expresiones de dos términos o binomios. Piense en esto como desarmar delicadamente la nave espacial y dividir las piezas por forma o color. Esta es una forma menos divertida de deconstruir tus bloques pero, bueno, cada uno lo suyo.

El segundo paso es factorizar el máximo común denominador de cada binomio. Nos quedamos atascados al intentar factorizar algo de los cuatro términos, pero podemos factorizar algo de estos binomios. Con (3 x ^ 2 + 2 x ), podemos factorizar una x para obtener x (3 x + 2). Con (12 x + 8), podemos factorizar un 4 para obtener 4 (3 x + 2). Bien, ahora tenemos x (3 x + 2) + 4 (3 x + 2). Eso nos lleva a nuestro último paso.

El tercer y último paso es factorizar el binomio común. ¿Ves cómo tenemos dos (3 x + 2)? Podemos descartar eso. Eso nos da ( x + 4) (3 x + 2). Y eso es. ¡Ya no es una nave espacial! Pero espera, revisemos nuestro trabajo. ( x + 4) (3 x + 2) no se parece en nada a nuestra expresión original. ¿Cómo sabemos si es correcto? Bueno, lo reconstruimos con FOIL . x (3 x ) es 3 x ^ 2, x (2) es 2 x , 4 (3 x ) es 12 x y 4 (2) es 8. Eso es 3 x ^ 2 + 2 x + 12 x+ 8. Y esa es nuestra expresión original. ¡Lo hicimos!

Práctica

Practiquemos otro.

5 y ^ 3 – 3 y ^ 2 + 10 y – 6

Vaya, mira todas esas y . Esta es una nave espacial genial. Bueno, vamos a dividirlo siguiendo nuestros pasos.

Paso 1 : Agrúpelo como (5 y ^ 3 – 3 y ^ 2) + (10 y – 6).

Bien, paso 2 : ¿De qué podemos factorizar (5 y ^ 3 – 3 y ^ 2)? Bueno, nada de 5 y 3, pero podemos factorizar una y . No solo eso, sino y ^ 2. Obtenemos y ^ 2 (5 y – 3). ¿Qué pasa con (10 y – 6)? No podemos factorizar a y , pero 10 y 6 tienen un factor común en 2. Obtenemos 2 (5 y – 3). Hey, mira eso: 5 Y – 3 de nuevo! Encontramos algunas partes comunes que van juntas.

Eso nos lleva al Paso 3 : factorizar que 5 y – 3. Entonces tenemos ( y ^ 2 + 2) (5 y – 3). Comprobemos eso. y ^ 2 (5 y ) es 5 y ^ 3, eso es bueno. Y y ^ 2 (-3) es -3 y ^ 2; bien otra vez. 2 (5 y ) es 10 y ; Me gusta a donde está yendo esto. Finalmente, 2 (-3) es -6. ¡Eso es lo que queríamos!

Dividiendo el término medio

Así que todo está muy bien con una expresión de cuatro términos. Pero, ¿y si tenemos esto?

2 x ^ 2 + 5 x + 3

Mmm, hay tres términos y ningún factor común. Es como si alguien construyera una nave espacial con partes de un castillo y, bueno, ¿qué haces con eso? Solo necesita saber con qué está trabajando. Esta ecuación es la misma que ax ^ 2 + bx + c . Queremos tomar nuestro a y c , que es 2 y 3, y multiplicarlos juntos: a x c = 6. Ahora, busque los factores de 6 que suman b , que es 5.

¿Cuáles son los factores de 6: 1 y 6, 2 y 3. Bueno, 1 + 6 es 7, así que eso no es bueno? 2 + 3 es 5. ¡Eso funciona! Entonces dividimos 5 en 2 x + 3 x . Eso hace que nuestra nueva expresión sea 2 x ^ 2 + 2 x + 3 x + 3. Eso es más familiar, ¿no?

Ahora podemos agrupar y factorizar. Tenga en cuenta que si lo escribimos como 2 x ^ 2 + 3 x + 2 x + 3, veríamos que agrupar no nos ayudaría a factorizar 2 x + 3. Puede organizar los términos como necesite para factorizar mejor . Simplemente no pierdas de vista las señales. Aquí está todo añadido, así que no te preocupes. Muy bien, con 2 x ^ 2 + 2 x + 3 x + 3, (2 x ^ 2 + 2 x ) se convierte en 2 x ( x + 1). (3 x + 3) se convierte en 3 ( x + 1).

Ahora podemos factorizar x + 1 para darnos ( x + 1) (2 x + 3). ¡Lo hicimos! Somos maestros en desmontar estas expresiones. Echemos un vistazo a nuestro trabajo. x (2 x ) es 2 x ^ 2, x (3) es 3 x , 1 (2 x ) es 2 x , y 1 (3) es 3. Si combinamos 3 x y 2 x , obtenemos 5 x , y esa es nuestra expresión original.

Resumen de la lección

En resumen, seguimos tres pasos para factorizar por agrupación. Primero, agrupe los dos primeros términos y los dos últimos términos. Básicamente, estamos haciendo dos binomios separados. Luego, factoriza el máximo común denominador de cada binomio. Finalmente, factoriza el binomio común. Si solo tenemos tres términos, como en ax ^ 2 + bx + c , podemos agregar un paso. Hallamos a multiplicado por c , luego hallamos los factores de ese producto que suman b . Dividimos bx en función de estos números y procedemos normalmente.

Resultado de aprendizaje

Después de asimilar los datos de esta lección, quizás recuerde cómo hacer lo siguiente:

• Esquema de los procesos de factorización y agrupación.
• Interpretar los tres pasos asociados con la agrupación para factorizar expresiones
• Organizar y dividir términos