Fórmulas de interés compuesto: Cálculos y ejemplos

Fórmula de interés compuesto

¿Alguna vez se preguntó cómo los bancos y las compañías de tarjetas de crédito ganan tanto dinero mientras aparentemente hacen tan poco? ¿Su secreto? Interés compuesto . Esto es cuando el interés se calcula tanto sobre el principal como sobre el interés acumulado a intervalos programados.

Imaginemos a tres hermanos. Cada uno comienza con $ 10,000.

Primero, está Joe. Joe guarda su dinero en una caja de zapatos debajo de su cama. Siempre está a mano, pero tampoco hace mucho. Después de 15 años, Joe todavía tiene $ 10,000. Y huele más que un poco a pies.

Luego está John. John deposita su dinero en una cuenta que gana un interés simple a una tasa del 5%. Eso significa que el interés se suma de una vez al final del período. Después de 15 años, tiene $ 17,500. ¡Eso es genial! Y no huelen los pies.

Finalmente, está Jim. Jim deposita su dinero en una cuenta con interés compuesto. Tiene la misma tasa del 5% que la cuenta de John, pero se capitaliza mensualmente. Después de 15 años, tiene $ 21,137. ¡Guau! Más del doble de su dinero. Y, de nuevo, los pies no huelen.

Entonces, ¿cómo lo hizo Jim? Necesitamos entender la fórmula del interés compuesto: A = P (1 + r / n ) ^ nt . A representa la cantidad de dinero que se ha acumulado. P es el principal; esa es la cantidad con la que comienzas. La r es la tasa de interés. Este es un decimal; en otras palabras, si la tasa de interés es del 9%, usamos .09 en la ecuación. La n es el número de veces que el interés se acumula cada año. Por último, t es el tiempo en años del depósito o del dinero prestado.

Esto es como un gran plato de sopa de letras. Repasemos rápidamente las cartas. A para importe final. P de capital o monto inicial. R para tasa de interés. n para el número de veces que los compuestos de interés. t por tiempo, en años, el dinero se queda.

Problema de práctica n. ° 1

Probemos con un problema de práctica: Will deposita $ 1,000 en una cuenta que gana un interés del 4%, compuesto trimestralmente. Redondeando al dólar más cercano, ¿cuál será el saldo después de 3 años?

En primer lugar, bien por Will por depositar algo de dinero y dejarlo devengar intereses durante 3 años. Bien, para resolver esto, averigüemos qué sabemos. Sabemos que el capital inicial es de $ 1,000. Esa es nuestra P .

También sabemos que la tasa de interés es del 4%. Si lo convertimos a decimal, es .04. Entonces esa es nuestra r . Sabemos que el tiempo total, ot , es 3. Recuerde, t es el tiempo en años.

¿Qué pasa con la n ? Esa es la cantidad de veces que se acumula el interés en un año. Sabemos que la cuenta de Will se capitaliza trimestralmente. Eso es 4 veces al año. Por tanto, nuestra n es 4.

Establezcamos nuestra ecuación. Comenzamos con A = P (1 + r / n ) ^ nt . Estamos tratando de encontrar A , el saldo de la cuenta al final de 3 años. Entonces A = 1,000 (1 + .04 / 4) ^ (4 * 3).

Al resolver una ecuación como esta, el orden de las operaciones es fundamental. Recuerda PEMDAS . Entonces, haz lo que está dentro del paréntesis primero. Luego los exponentes, luego la multiplicación y la división. Luego, suma y resta, aunque no lo necesitaremos aquí. Supongo que se podría decir PEMD , pero en realidad no es una palabra. OK, PEMDAS tampoco es una palabra real, pero suena como tal.

De todos modos, comencemos entre paréntesis. .04 / 4 es .01. Si sumamos 1, tenemos 1.01. Ahora, 4 * 3 es 12, así que necesitamos resolver 1.01 con un exponente de 12. Eso es 1.1268 … y algunas cosas más. Con eso todavía en nuestra calculadora, multipliquemos por 1,000. Obtenemos 1126,83. Redondeando al dólar, eso es $ 1,127.

Entonces, después de 3 años, Will ganó $ 127 adicionales además de sus $ 1,000 originales. Y todo lo que tenía que hacer era dejar su dinero en paz.

Problema de práctica n. ° 2

Como ocurre con la mayoría de las cosas en la vida, con el interés compuesto, cuanto más dinero tenga, más podrá hacer. Intentemos un problema de práctica con un poco más de dinero involucrado: Sarah deposita $ 25,000 en una cuenta que gana 6.5% de interés, compuesto mensualmente. Redondeando al dólar más cercano, ¿cuál será el saldo después de 8 años?

Sarah es un poco más apostadora que Will. No solo está depositando más, se encontró con una excelente tasa de interés del 6.5% y una cuenta que se capitaliza mensualmente. La frecuencia compuesta es un gran problema. Piense en cómo funciona el interés compuesto. Toma su interés y lo agrega al capital. Cuanto más a menudo lo haga, mayor será su saldo y más intereses ganará en cada período. Entonces hay un efecto de bola de nieve.

Los compuestos frecuentes pueden ser de gran ayuda. Por el contrario, los compuestos raros frustran el propósito del interés compuesto. Si su cuenta capitaliza intereses una vez cada 10 años, bueno, entonces tendría que esperar 10 años para ver algún beneficio de la capitalización.

De todos modos, la cuenta de Sarah se capitaliza mensualmente o 12 veces al año. Esa es nuestra n , y es genial. Sabemos que nuestra P es la friolera de $ 25,000. La tasa de interés es del 6,5%. Como decimal, eso es .065. Tenga cuidado con ese punto decimal. Siempre lo movemos dos lugares a la izquierda. Finalmente, la t es 8, durante 8 años. Sarah va a dejar que este dinero repose durante dos mandatos presidenciales o dos Juegos Olímpicos de Invierno. O tal vez lo deposita el 29 de febrero y espera un par de años bisiestos.

Vayamos a la fórmula: A = P (1 + r / n ) ^ nt . Entonces eso es A = 25,000 (1 + .065 / 12) ^ (12 * 8). Tengamos cuidado con estos grandes números. .065 / 12 es .00541666 repetido. Si sumamos 1 y luego lo elevamos a la potencia 96, obtenemos 1.6797 y cambiamos. Parece un número relativamente pequeño. Quiero decir, es menos de 2. Pero veamos qué sucede cuando lo multiplicamos por 25,000. ¡Son 41.991,72! Al dólar más cercano, eso es $ 41.992. Entonces Sarah ganó casi $ 17,000 en intereses. Guau.

Resumen de la lección

Para resumir, aprendimos sobre el interés compuesto . Este es el interés que se calcula tanto sobre el capital como sobre el interés acumulado a intervalos programados.

La fórmula que usamos para encontrar el interés compuesto es A = P (1 + r / n ) ^ nt . En esta fórmula, A representa la cantidad total que se acumula. P es el principal original; ese es el dinero con el que empezamos.

La r es la tasa de interés. Convertimos el porcentaje a decimal para este. Luego está n , que es el número de veces que el interés se acumula en un año. Si es trimestral, n es 4. Si es mensual, n es 12. Y t es el tiempo, en años, en que se acumula el interés.

Los resultados del aprendizaje

El estudio detenido de esta lección podría prepararlo para hacer lo siguiente:

• Proporcionar el significado de interés compuesto
• Compare el interés compuesto con el interés simple
• Escribe la fórmula de interés compuesto
• Resuelve problemas con esta fórmula usando el orden de operaciones