Funciones: Identificación, notación y problemas de práctica

Publicado el 18 septiembre, 2020

Funciones


F yg se utilizan con mayor frecuencia para nombrar funciones.
Ejemplo de identificación de función

La función de palabra se usa mucho en la clase de álgebra, pero a menudo puede tomarlo desprevenido. ¿Esperar lo? ¿Función? De donde vino eso? Bueno, la razón por la que los profesores de matemáticas lo usan tanto y a menudo ni siquiera se dan cuenta de que lo están haciendo es que la palabra función es en realidad una palabra elegante para “ecuación” o “regla”. Una función es algo en lo que conecta una cosa y saca otra.

¡En realidad, hay funciones a tu alrededor! Si toma exámenes, hay una función que le dice que si obtiene esta calificación en su examen, obtendrá esta calificación. Si va de compras al supermercado, hay una función que le dice que si compra tantas botellas de agua, debe pagar tanto dinero. Si paga por televisión por cable, hay una función que le dice que si desea tantos canales, debe pagar esta cantidad de dinero.

Identificación de función

Si bien una función no necesariamente tiene que usar números, esta es una clase de matemáticas, por lo que el resto de los ejemplos que veremos involucrarán números, como estos, por ejemplo: x 2 + 1 y 3 ( x – 1). Entonces tenemos dos funciones (o reglas o ecuaciones), pero es bueno tener nombres para estas funciones para que podamos tener claro de cuál estamos hablando. Los dos nombres más comunes para funciones matemáticas son f y g. Llamemos a este f ( x 2 + 1) y este otro g (3 ( x – 1)).

¿Qué hacemos con las funciones? ¡Conectamos números en ellos y vemos qué aparece! Cuando conectamos, digamos, 5, en la función f, obtendríamos 26. O si conectamos -2 a la función g, obtendríamos -9.

Como puede ver, tenemos entradas y salidas. En la mayoría de las áreas de las matemáticas, usamos x para las entradas e y para las salidas, pero las funciones son un poco diferentes. Si dijimos, conectamos x = 5 y obtuvimos y = 26, no es obvio qué función usamos para obtener eso. Ahora, probablemente no sería demasiado difícil de entender, pero sería bueno si fuera obvio. Además, solo mirar la salida, y = 26, no nos da ninguna pista sobre lo que conectamos al principio para obtener ese número.

Entonces, a los matemáticos se les ocurrió una forma diferente de escribir los resultados para hacer estas cosas más informativas. Ahora, esto lo hace más confuso al principio, pero una vez que lo obtienes, en realidad es bastante útil.

Bien, entonces en lugar de llamar a las salidas y , las salidas de la función f se llamarán f ( x ), y las salidas de la función g se llamarán g ( x ). Observe que estoy diciendo f de x o g de x . No digo f por x . Puede ser fácil ver los paréntesis y pensar multiplicar, pero si es un f o ag, ¡resista el impulso!


F (x) es básicamente una salida ay.
y salidas

Ahora, cuando conectamos 5 a la función f, en lugar de decir y = 26, decimos f (5) = 26. Esto nos dice que usamos la función f y 5 fue nuestra entrada, ¡mucho más informativo! Por esta misma lógica, g (-2) = -9. Además, ahora en lugar de tener que decir que la función f es x 2 + 1 y la función g es 3 ( x – 1), podemos simplemente escribir f ( x ) = x 2 + 1 y g ( x ) = 3 ( x – 1). Nuevamente, estos son básicamente lo mismo que y =, por lo que si ve una f ( x ) y se asusta, no se preocupe, básicamente es solo una y .

Esta forma de escribir f ( x ) o g ( x ) en lugar de y se llama notación de función y se utilizará en todas las clases de matemáticas y ciencias a partir de ahora.

Antes de terminar, tengo que aclarar una cosa que dije antes. Cuando dije que una función era solo otra forma de decir ecuación o regla, no estaba siendo del todo honesto. La razón es que las funciones son una clase especial de ecuaciones. No todas las ecuaciones llegan a ser una función; hay una prueba que debes pasar primero. Para ilustrar cuál es esa prueba, usaré una analogía.

Disfruta Slurp

Digamos que tenemos una máquina de refrescos. Podría llamarse función, ¿verdad? Quiero decir, aprietas el botón diciéndole qué tipo de refresco quieres, la entrada, y luego escupe una, la salida. Muy bien, bueno, a falta de una palabra mejor, digamos que esta es una máquina Slurp. Tiene tres botones en la parte superior que le darán un Slurp regular, dos botones para Diet Slurp, uno para Dr. Slurp, uno para Extreme Slurp y finalmente uno para Fruity Slurp. Esto es bastante normal de ver. Hay tres para Slurp regular porque es el más popular, por lo que debe haber un montón. Diet Slurp es bastante popular, por lo que tiene dos, mientras que el resto solo tiene uno porque no se venden tan bien.

Ahora digamos que vamos a usar esta máquina. Tú y yo nos acercamos y ambos decidimos buscar al Dr. Slurp. Presiona el botón Dr. Slurp y su Dr. Slurp salta, genial. Ahora hago lo mismo, presiono el mismo botón Dr. Slurp, ¡pero luego sale Extreme Slurp! ¿Qué? ¡Eso no es lo que pedí! Presionaste Dr. Slurp y te dio lo que querías, pero cuando presioné exactamente el mismo botón, ¡obtuve Extreme Slurp! Esta máquina está rota. ¡Quiero mi dinero de vuelta!

Bueno. Me calmaré y volveré a concentrarme. La razón por la que cuento esta historia es que las funciones son como lo era la máquina Slurp. Se les permite tener varios botones que le brindan lo mismo, pero si un botón a veces le da esto y otras le da aquello, está roto y no funciona en absoluto.

Decir esto en matemáticas suena así: múltiples entradas pueden tener la misma salida, pero una entrada no puede conducir a múltiples salidas. Cada entrada debe tener una salida única. Veamos algunos problemas de ejemplo y decidamos si son funciones o no.

Ejemplos de funciones y relaciones

El tipo de función más básica que podemos tener es simplemente un emparejamiento de valores de entrada con valores de salida, como este: (2,3) (5,6) (7,8). Esto nos dice que cuando 2 está conectado, 3 es la salida; cuando 5 está conectado, 6 es la salida; y así. Podemos estar de acuerdo en que esta es una función porque cada entrada siempre te da la misma salida. 2 siempre te da 3, 5 siempre te da 6 y 7 siempre te da 8.

Este (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,2) también está bien porque cada entrada siempre te da lo mismo. Recuerde que está bien tener varios botones que le brinden lo mismo, como puede ver aquí con 2, 3, 4 y 5 que le dan 1.

Pero aquí (1,2) (1,3) (1,4) (2,5) nos encontramos con un problema porque la entrada 1 tiene múltiples salidas. A veces, 1 le dará 2, pero a veces le dará 3 y, a veces, incluso 4. Dado que no es una función, simplemente se le llama “relación”.

Prueba de línea vertical


Esta gráfica no es una función porque hay tres puntos en la línea que van con el valor x.
Ejemplo de prueba de línea vertical

También podemos saber si algo es una función observando su gráfica. Aquí, sé que esta es una función porque para cualquier valor de x que elija, solo hay un punto en la línea que va con ese valor. Pero para este gráfico ahora, de inmediato puedo decir que no es una función porque para cualquier valor de x justo en el medio aquí, en realidad hay tres puntos diferentes en la línea que lo acompañan. Aunque estas partes del gráfico están bien, el hecho de que esta parte del medio exista lo arruina todo y, por lo tanto, no es una función.

Lo que estamos haciendo aquí se llama prueba de línea vertical . Básicamente, es solo un truco que puede usar para ver si un gráfico es una función o no. Al arrastrar una línea vertical imaginaria sobre el gráfico y verificar si alguna vez hay un punto en el que su línea toque el gráfico en dos lugares, puede saber si es una función. Si la línea alguna vez, aunque sea una sola vez, toca el gráfico en dos o más puntos, no es una función. Si este no es el caso, todo está bien, pasa la prueba y de hecho es una función.

Resumen de la lección

Una función es un tipo especial de ecuación en la que puedes insertar números y obtener algo nuevo. En lugar de etiquetar estas ecuaciones con y =, a menudo usamos f ( x ) o g ( x ) porque nos brindan mucha más información que una simple y . A esto se le llama notación de función . Las letras fyg son las más utilizadas, pero se puede utilizar cualquier tipo de letra.

No todas las ecuaciones son funciones. Si bien está bien tener múltiples entradas que conduzcan a las mismas salidas (o múltiples botones para el mismo refresco), no está bien tener múltiples salidas para una entrada (un botón que a veces te da una cosa y a veces otra). Si miramos la gráfica de una ecuación, podemos probar si es una función o no con la prueba de la línea vertical . Si esta línea vertical imaginaria que arrastramos a través del gráfico alguna vez toca el gráfico en más de un punto, no es una función, pero si no lo es, ¡lo es!

Términos clave

función

función: un tipo especial de ecuación (regla) en la que, inserta un número para obtener otro

notación de función: una forma precisa de escribir una función, a menudo vista como f (x) – f de x

prueba de línea vertical: usar un gráfico para verificar si es una función al ver si alguna línea vertical toca el gráfico en más de un punto

Resultado de aprendizaje

Después de ver esta lección, debería poder:

  • definir función y términos relacionados.
  • explica cómo comprobar si una gráfica es una función.
  • preparar ejemplos de funciones.

¡Puntúa este artículo!