Rodrigo Ricardo

Funciones inversas

Publicado el 18 septiembre, 2020

Funciones inversas


La segunda función es la inversa de la primera
Ejemplo de función inversa

Probablemente no haya tenido que ver muchos de estos videos para escucharme decir las palabras “operaciones inversas”. Utilizo este término para hablar sobre cómo podemos resolver ecuaciones algebraicas, tal vez como esta: 2 x + 3 = 9, deshaciendo cada número alrededor de la variable. Por ejemplo, deshacemos un más 3 con un menos 3 porque la suma y la resta son operaciones inversas. Entonces también podemos deshacer un tiempo por 2 con una división por 2, nuevamente, porque la multiplicación y la división son operaciones inversas.

De la misma manera, una función inversa es una función opuesta a otra. Si una función es un conjunto de pasos para realizar con un número, su inverso es solo un conjunto diferente de pasos que deshace todo lo que hizo la función original.

Por ejemplo, si tuviéramos una función f ( x ) que nos dijera que debemos comenzar con un número, restar 5 y luego dividir entre 2, su función inversa, en cambio, haría todas las operaciones opuestas en el orden opuesto. Eso significa que comenzaría con el mismo número, lo multiplicaría por 2 primero y luego sumaría 5.

Observe que usamos esta f elevado a -1 para indicar una función inversa. Esto tiene que ver con lo que significa un exponente de -1, pero no es realmente importante que entiendas por qué lo usamos, solo que lo hacemos.

Confirmación de inversos


La composición de funciones se usa para verificar funciones inversas
Composición de funciones

Una vez que tenemos una función y su inversa, podemos verificar para asegurarnos de que sean inversas usando la composición de funciones. Si no está familiarizado con este proceso, hay un video que puede ver para aprender sobre él, pero básicamente significa conectar una función a otra. La idea es que dado que las funciones inversas hacen exactamente las cosas opuestas, si las compusimos juntas, deberíamos terminar exactamente donde comenzamos: solo una x simple . Intentemos esto con nuestro ejemplo anterior.

Sustituir f -1 en f significa evaluar f (f -1 ( x )). Reemplazar una función inversa f donde solíamos ver una x en la función f hace que nuestra ecuación se vea así: f (f -1 ( x )) = (2 x + 5 – 5) / 2. Inmediatamente vemos las diferentes pasos cancelando. El +5 y el -5 en el numerador se deshacen entre sí, dejándonos aquí: f (f -1 ( x )) = 2 x / 2, y luego los tiempos 2 y divididos por 2 deshacen para llevarnos de vuelta a donde comenzamos – simple y viejo x. Este proceso en realidad nos muestra la definición matemática de funciones inversas: dos funciones que, cuando se componen entre sí, se cancelan y nos devuelven directamente a la x en el interior.

Encontrar inversos

Entonces, ahora que sabemos qué son las funciones inversas, ¿cómo podrías encontrar una? Digamos que tenemos la función g ( x ) = √ (2 x – 3) que se muestra aquí, ¿cuál sería la inversa de g?


Si una línea vertical cruza la gráfica en más de un lugar, la relación no es una función
Gráficos de prueba de línea vertical

Bueno, está bien, dado que g ( x ) es en realidad una forma diferente de decir y , podríamos reescribir nuestra función así: y = √ (2 x – 3). Ahora, confiando en el conocimiento de que la inversa es una lista de pasos que son exactamente opuestos a la original, podemos usar el siguiente truco para encontrar cualquier función inversa. Cambiar la x y la y y ahora resolver la ecuación para y con operaciones inversas nos proporcionará el conjunto exacto de pasos que deshacerán la función original.

Hacer eso aquí significaría que primero elevaríamos al cuadrado ambos lados para deshacer la raíz cuadrada, luego sumaríamos 3 a ambos lados para deshacer la resta, y finalmente dividiríamos por 2 para deshacer la multiplicación. La ecuación con la que terminamos, ( y = ( x 2 + 3) / 2), es la inversa porque incluye todas las operaciones inversas en orden inverso de la función original. Por lo tanto, g -1 ( x ) = ( x 2 + 3) / 2.

La prueba de la línea horizontal

Lo último que hay que cubrir tiene que ver con detalles sobre qué hace una función y, por lo tanto, qué hace su inversa. Deberá recordar que cualquier función solo puede tener una salida para cada entrada. Una forma común de probar esto se llama prueba de línea vertical . Al trazar una línea vertical a través del gráfico, podemos verificar si la relación es realmente una función. Si nuestra línea vertical imaginaria cruza el gráfico en más de un lugar, la relación no es una función, pero si pasa por todo el gráfico y solo toca el gráfico en un lugar, lo es.


Si la línea horizontal toca el gráfico en más de un punto, la inversa no es una función
Gráficos de prueba de línea horizontal

Podemos usar una táctica similar para probar también si la inversa también es una función, pero ahora, de manera similar a cómo cambiamos la x y la y para encontrar la inversa, cambiamos la línea vertical a una línea horizontal. Esto significa que para probar si la inversa de una relación es una función, usamos la prueba de la línea horizontal en lugar de la prueba de la línea vertical, pero todo lo demás es igual. Trazamos esta línea horizontal imaginaria a través del gráfico, buscando un lugar donde toque más de una vez. Si nunca lo hace, la inversa es una función, pero si alguna vez toca la gráfica en más de un punto, la inversa no es una función.

Resumen de la lección

Hay mucho que saber sobre las funciones inversas , así que repasemos lo que hemos aprendido. La inversa de una función es otra función que hace exactamente lo contrario, y usamos la potencia negativa para expresarla: f -1 ( x ).

Si compusimos una función con su inversa, las dos funciones esencialmente se deshacen entre sí, dejándonos de regreso donde comenzamos: la x . Podemos averiguar cuál es la inversa de una función intercambiando la x por la y y luego resolviendo la ecuación por y . Y finalmente, para probar si la inversa es una función matemática verdadera, podemos usar la prueba de la línea horizontal para ver si nuestra línea horizontal imaginaria alguna vez toca el gráfico en más de un punto.

Los resultados del aprendizaje

Después de ver esta lección, debería poder formular la inversa de una función y usar la prueba de la línea horizontal si una función inversa es una función verdadera.

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