Funciones pares e impares: definición y ejemplos

Publicado el 4 noviembre, 2020 por Rodrigo Ricardo

¿Por qué utilizar funciones pares e impares?

Brandon está tratando de resolver rápidamente algunos problemas de álgebra. Su maestro le ha pedido para identificar los problemas que son simétricos a través de la Y eje x y los problemas que son simétricas a través del origen. Puede usar lo que sabe sobre funciones pares e impares para identificar la simetría en su tarea de matemáticas.

Las funciones pares e impares pueden ayudarlo a identificar rápidamente los gráficos de funciones y viceversa. Una función es una ecuación que muestra una relación única entre los valores de x e y .

Una función no puede tener el mismo valor x para un valor y . Por ejemplo, si estuviera enviando varios paquetes del mismo tamaño y peso, probablemente pagaría más dinero por la distancia que el paquete debe recorrer. En este caso, el valor x sería la distancia que debe recorrer el paquete y el valor y sería el costo del paquete. Dado que el paquete solo puede viajar una distancia a la vez y no puede estar en dos lugares a la vez, este sería un ejemplo de una función. Solo pagaría un precio por un paquete para recorrer una cierta distancia, no más.

En este caso, el costo sería el y eje x y la distancia sería el x eje y. Cuanto más lejos tenga que viajar el paquete, más tendrá que pagar. Tiene un valor x único para un valor y único . No tendría que pagar dos precios diferentes por la misma distancia recorrida.

Sin embargo, puede tener dos valores de y que sean iguales en una función. Digamos que su casa se encontraba en el origen y necesitaba un paquete para viajar veinte millas al oeste de su casa y veinte millas al este de su casa. En este caso, aunque los paquetes viajen en diferentes direcciones, recorren la misma distancia. Por tanto, el coste del envío sería el mismo.

Puede realizar lo que se llama la prueba de la línea vertical para determinar si una gráfica es una función. Si dibuja una línea vertical en cualquier parte del gráfico y la línea vertical llega a más de un punto, entonces la línea no es una función. Nuevamente, la línea vertical se puede dibujar en cualquier parte del gráfico. El hecho de que no llegue a más de un punto en un lado del gráfico no significa que la línea sea una función.

Definición de funciones pares e impares

Entonces, volvamos a las funciones pares e impares.

Una función par es cuando la mitad izquierda del gráfico refleja exactamente la línea o forma en la mitad derecha del gráfico, como se muestra en este gráfico.

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Una función extraña es cuando la mitad izquierda del gráfico refleja exactamente la línea o forma en la mitad derecha del gráfico, excepto que está al revés, como se muestra en este gráfico.

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Identificar funciones gráficamente

Incluso las funciones son siempre simétricas con respecto al eje y . Eche un vistazo a este gráfico; ¿Esta gráfica representa una función par o impar?

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Si miramos hacia atrás en la definición de una función par, nos dice que la mitad izquierda del gráfico debe coincidir con la mitad derecha. En este caso, ambos lados del gráfico coinciden. Por lo tanto, este gráfico representa una función par. La ecuación de esta gráfica es y = | x |.

Las funciones impares son siempre simétricas con respecto al origen. Eche un vistazo a este gráfico; ¿Esta gráfica representa una función par o impar?

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Si miramos hacia atrás en la definición de una función impar, nos dice que la mitad izquierda del gráfico debe coincidir con la mitad derecha, excepto al revés. Tomemos este gráfico y rotémoslo al revés. Podemos ver que las dos mitades del gráfico coinciden exactamente. Por lo tanto, esta gráfica representa una función extraña. La ecuación de esta gráfica es y = 1 / x .

Identificar funciones algebraicamente

También puede identificar funciones pares e impares mediante el análisis de ecuaciones de funciones. Esto es útil cuando no tiene la gráfica de la ecuación para evaluar o tiene que identificar ecuaciones rápidamente. Se puede identificar una función par reemplazando el valor x en la función con un valor -x . Si evalúas la ecuación y terminas con la ecuación original, entonces la función es una función par.

Se puede identificar una función impar reemplazando los valores x e y con valores -x y -y . Si los valores en su ecuación son los opuestos (los positivos son negativos y los negativos son positivos), entonces la función es impar.

Tomemos, por ejemplo, esta ecuación y = x ^ 2. ¿Puedes identificar si esta ecuación es par o impar? Primero, reemplace el valor de x con -x . Ahora evalúe la ecuación. Dado que x al cuadrado significa ‘x por x’ y un negativo multiplicado por un negativo es un positivo, tendremos la misma ecuación que la original. Por tanto, nuestra ecuación es una función par.

Eche un vistazo a la gráfica de esta ecuación y verá que coincide con nuestra definición de función par.

Bien, ¿qué tal esta ecuación, y = x ^ 3? ¿Puedes identificar si esta ecuación es par o impar? Reemplaza el valor de x con -x y el de y con -y . Ahora evalúe la ecuación. x al cubo es lo mismo que x veces x veces x . Lo que nos daría un negativo por negativo, que es un positivo por negativo.

Eso nos daría un valor -x . No podemos hacer nada más con el valor -y . Por lo tanto, la ecuación se queda con un valor -x y un valor -y , exactamente lo contrario de la ecuación original. La ecuación representa una función impar.

Aquí está la gráfica de esta ecuación. Puede ver que cuando se gira el gráfico, coincide con la definición de una función impar.

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Si inserta a – x en una ecuación y no obtiene la ecuación original, e inserta a – x y a – y y no todos los valores han cambiado de negativo a positivo o de positivo a negativo, entonces la ecuación no es ni par ni impar.

Un truco rápido para las funciones pares e impares es analizar los exponentes de la ecuación. Si los exponentes de los valores de x en la ecuación son iguales a un número par, entonces la función es par. Si los exponentes para las x los valores y las Y valores en la ecuación son iguales a un número impar, entonces la función es impar. Sin embargo, esto no se aplica a las ecuaciones de valor absoluto.

Si tuvieras una ecuación que fuera y = | x ^ 3 | y reemplazó el valor de x con un valor de -x , todavía tendría una x positiva . Eso es porque cada vez que evalúa una ecuación en valor absoluto, siempre tendrá un resultado positivo. Es mejor probar la ecuación que depender de un truco, por si acaso.

Resumen de la lección

En conclusión, puede identificar ecuaciones simétricas usando funciones pares e impares. Incluso las funciones son funciones que son simétricas en el eje y . Puede identificar funciones pares reemplazando el valor de x en la ecuación con un valor de x negativo . Si evalúa la ecuación y obtiene lo mismo que el original, entonces la ecuación es par.

Las funciones impares son funciones que son simétricas en el origen. Puede identificar funciones impares reemplazando los valores x e y en la ecuación con valores -x y -y . Si evalúa la ecuación y obtiene la ecuación exactamente opuesta a la original (los positivos son negativos y los negativos son positivos), entonces la ecuación es impar.

Puedes usar exponentes como truco para identificar funciones pares e impares. A menudo, las funciones pares tienen exponentes pares y las funciones impares tienen exponentes impares, pero hay excepciones a esta regla, ¡así que siempre es mejor verificar dos veces!

Los resultados del aprendizaje

Al completar esta lección, podría estar mejor preparado para:

  • Comparar funciones pares e impares
  • Resolver ecuaciones simétricas
  • Determinar si una función es par o impar
  • Usa exponentes para identificar funciones pares e impares

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