Geometría analítica: definición y pruebas

La idea principal de la geometría analítica

La geometría analítica es el estudio de la geometría en una cuadrícula llamada plano de coordenadas o plano xy . Ciertos aspectos de la geometría se pueden manejar muy fácilmente en el plano de coordenadas: distancia entre puntos, pendientes de líneas, búsqueda de puntos medios, etc.

Un matemático y filósofo llamado René Descartes (1596-1650) fue uno de los primeros en tener la idea de utilizar una cuadrícula para estudiar geometría. Según cuenta la historia, una noche René estaba despierto en la cama mirando hacia el techo, que tenía un patrón de baldosas. Observó una mosca arrastrándose por las baldosas y se dio cuenta de que la posición del insecto podía describirse de forma única contando el número de baldosas de la pared oeste ( coordenada x ) y la cantidad de baldosas de la pared sur ( coordenada y ). Así nació el plano de coordenadas, también conocido como plano cartesiano después de la latinización de su nombre, Cartesius.

René Descartes

El plano de coordenadas

Imagínese un campo vacío que se extiende hasta donde alcanza la vista. Ahora suponga que su amigo escondió un tesoro en algún lugar del campo. La única pista que dejó es esta: desde tu posición, el tesoro está a 400 pies al este y 200 pies al norte. Con solo dos coordenadas (¡y una brújula!) Puedes encontrar fácilmente el tesoro. En el plano de coordenadas, hay un punto llamado origen (a menudo etiquetado como O ), que se parece mucho a su posición inicial en el campo. Direcciones como este, oeste, norte y sur son manejados por X o Y coordenadas.

En el plano de coordenadas hay dos ejes perpendiculares (líneas) que pasan por el origen: el eje x (horizontal o este-oeste) y el eje y (vertical o norte-sur). Cada punto P en el plano de coordenadas ahora se puede ubicar usando dos números, o coordenadas , una coordenada x y una coordenada y . Estas coordenadas generalmente se escriben como un par ordenado , ( x , y ). El valor de x indica cuánto hay que ir a la derecha del origen, si x > 0, oa la izquierda si x <0. El valor de yindica cuánto subir ( y > 0) o bajar ( y <0). Los números x e y no tienen que ser números enteros; pueden ser negativos, fraccionarios o, en general, cualquier número real.

Si un punto P tiene coordenadas ( x , y ), entonces puede identificar el punto mediante la notación P ( x , y ).

Plano de coordenadas con algunos puntos trazados

La fórmula de la distancia

La distancia entre los puntos P ( x 1 , y 1 ) y Q ( x 2 , y 2 ) en el plano de coordenadas se puede encontrar mediante la siguiente fórmula.

Fórmula de distancia

Por ejemplo, encontremos la distancia entre P (-5, 1) y Q (3, -2).

La fórmula del punto medio

Recuérdese de la geometría que el punto medio de un segmento PQ es el punto M a medio camino entre P y Q . En geometría analítica, P y Q se especifican mediante coordenadas, por lo que la fórmula del punto medio identifica el punto M también mediante un par de coordenadas:

Encontremos las coordenadas del punto medio entre P (-5, 1) y Q (3, -2).

M es el punto medio del segmento PQ.

Pendiente

La pendiente de una línea es una medida de qué tan inclinada está la línea. Tradicionalmente usamos la m minúscula para la pendiente. Una línea de pendiente m = 0 es completamente horizontal. Una línea que se inclina hacia arriba (al mirarla de izquierda a derecha) tiene una pendiente positiva ( m > 0), mientras que una línea que se inclina hacia abajo tiene una pendiente negativa ( m <0). La pendiente de una línea vertical no está definida (o m = ∞).

Fórmula de pendiente

Por ejemplo, encontremos la pendiente de la recta PQ , donde P y Q son los mismos puntos que en los ejemplos anteriores, P (-5, 1) y Q (3, -2).

La pendiente es importante en geometría para identificar líneas paralelas o segmentos de línea. La línea que pasa por PQ es paralela a la línea que pasa por RS si y solo si las pendientes de PQ y RS son las mismas.

Una prueba de geometría analítica

Terminamos esta lección con un par de pruebas breves que incorporan fórmulas de geometría analítica.

Prueba de ejemplo 1

Demuestre que el triángulo ABC es isósceles.

Triángulo ABC

Prueba: un triángulo es isósceles si dos de los lados comparten la misma longitud. Podemos usar la fórmula de la distancia para encontrar las longitudes de AB , AC y BC . Las coordenadas de los puntos son A (0,4), B (7,5) y C (4,1).

Dado que AC = BC = 5, el triángulo ABC es isósceles.

Prueba de ejemplo 2

Demuestre que PQRS es un paralelogramo.

¿Es PQRS un paralelogramo?

Prueba: Un cuadrilátero es un paralelogramo si y solo si cada par de lados opuestos es paralelo. ¡Este es un trabajo para cuestas! Las coordenadas de los puntos son P (-1, 2), Q (2, 0), R (-1, -1) y S (-4, 1).

Dado que las pendientes de PQ y RS son las mismas, sabemos que PQ es paralelo a RS . De manera similar, dado que las pendientes de QR y SP son las mismas, los lados QR y SP son paralelos. Por tanto, PQRS es de hecho un paralelogramo.

Resumen de la lección

La geometría analítica utiliza el plano de coordenadas para estudiar conceptos geométricos como distancia , punto medio y pendiente . Cada punto del plano está especificado por dos coordenadas , ( x , y ). Las fórmulas de la geometría analítica pueden usarse en pruebas cuando se dan las coordenadas de los puntos.