Geometría axiomática de Euclides: desarrollos y postulados

Euclides

Euclides fue un matemático griego que introdujo un sistema lógico para probar nuevos teoremas en los que se podía confiar. Fue el primero en demostrar cómo las cinco verdades básicas se pueden utilizar como base para otras enseñanzas. Escribió una serie de libros que, cuando se combinan, se convierten en el libro de texto llamado Elementos en el que presentó la geometría que estás estudiando en este momento. En este libro de texto introdujo las cinco verdades o postulados básicos en los que se basaba toda la geometría en ese momento.

Postulados de Euclides

¿Cuáles son estos postulados que introdujo como base para la geometría? Es posible que se sorprenda de lo simples que parecen ser algunos de ellos. Y eso es como debe ser. Estas son verdades básicas que deberían ser evidentes por sí mismas y no requieren pruebas formales. Los cinco postulados que introdujo son estos:

1. Se puede trazar una línea entre dos puntos cualesquiera.

2. Cualquier segmento de línea puede extenderse hasta el infinito en ambas direcciones.

3. Un círculo se puede describir con solo un punto central y un radio.

4. Un ángulo recto es igual a todos los demás ángulos rectos.

5. Este último también se llama postulado paralelo. Establece que si una línea se cruza con otras dos líneas y forma ángulos de menos de 90 grados en un lado, las dos líneas se cruzarán en ese lado.

Al observar los primeros cuatro, puede ver que se trata de verdades intuitivas y muy simples. Puede ver que son verdaderas y no requieren una prueba formal. El último puede no parecer tan intuitivo, y los matemáticos han argumentado que el postulado paralelo requiere una prueba, pero los matemáticos han visto con el tiempo que es una verdad básica que no necesita una prueba formal.

Estos cinco postulados, o verdades básicas, también se llaman axiomas, y Euclides usó estos axiomas para presentar su sistema axiomático.

El sistema axiomático

El sistema axiomático es un sistema de pruebas formales. Proporciona un sistema en el que se prueban nuevos teoremas utilizando verdades básicas. Debido a que estos teoremas se basan en verdades básicas, se puede confiar en ellos y usarlos con la confianza de que funcionarán y darán respuestas confiables.

¿Cómo funciona el sistema axiomático? Puede pensar en él como un abogado que intenta probar un caso. Un abogado necesita pruebas confiables que no se puedan refutar. Un abogado necesita revisar algunos hechos básicos que sabe que son ciertos, y luego se basa en estos hechos para construir otros nuevos que lo lleven a la conclusión de que es culpable o no culpable. Es similar con el sistema axiomático. Se utiliza un conjunto de verdades básicas que son evidentes para probar nuevas conclusiones. Los matemáticos usan este sistema para demostrar que una nueva conclusión o un nuevo teorema es verdadero o falso. Los verdaderos teoremas se presentan a sus estudiantes o se escriben en libros de texto. Todos estos teoremas que se han demostrado ahora forman parte de lo que conocemos como geometría. Muchos de los teoremas que aprenderá se han probado mediante el sistema axiomático.

Geometría euclidiana

La parte de la geometría que usa el sistema axiomático de Euclides se llama geometría euclidiana. Durante miles de años, la geometría de Euclides fue la única geometría conocida. Pero en el siglo XIX se introdujeron otros espacios geométricos y formas de pensar. Entonces, ahora tenemos geometría euclidiana y geometría no euclidiana. ¿Cuál es la diferencia? Como puede ver en las verdades básicas, la geometría euclidiana asume que las líneas y superficies son rectas y planas. La geometría no euclidiana, por otro lado, incluye líneas y superficies que se doblan. ¿Por qué necesitamos saber la geometría donde las líneas y superficies se pueden doblar? Debido a que nuestra Tierra es redonda y si hiciéramos cálculos matemáticos en su superficie, tendríamos que dar cuenta de esa curva. Así que ahora, se encontrará con las enseñanzas basadas en la geometría de Euclides que asume superficies planas así como otras geometrías que usan espacios curvos.

Resumen de la lección

¿Qué hemos aprendido en esta lección en video? Hemos aprendido que Euclides hizo una gran contribución al estudio de la geometría al escribir su serie de libros que se convirtió en el libro de texto llamado Elementos . En él, introdujo cinco verdades o axiomas básicos.

Estos son que:

• Se pueden dibujar líneas conectando dos puntos cualesquiera.
• Los segmentos de línea se pueden extender infinitamente en ambas direcciones.
• Los círculos se pueden describir mediante un punto central y un radio.
• Todos los ángulos rectos son iguales.
• Dos líneas se intersecarán en el lado donde una tercera línea interseca las dos líneas y forma ángulos de menos de 90 grados.

Estas verdades básicas se convierten en la base del sistema axiomático de Euclides. El sistema axiomático es un sistema en el que los nuevos teoremas se prueban mediante las cinco verdades básicas. Debido a que estos nuevos teoremas pueden demostrarse utilizando verdades básicas, estos nuevos teoremas pueden considerarse verdaderos y usarse en cálculos y para resolver más problemas. Hoy, estudiamos la geometría euclidiana que define líneas y superficies como rectas y planas junto con geometría no euclidiana que se ocupa de líneas y superficies curvas.

Los resultados del aprendizaje

Una vez que haya completado esta lección, podrá:

• Explica el impacto que tuvieron los elementos de Euclides en la geometría.
• Enumere las cinco verdades de Euclides
• Describir el sistema axiomático de Euclides y cómo se aplica a líneas rectas y planas, así como a líneas curvas y superficies.