Graficar desigualdades: problemas de práctica

Soy un gran admirador de tratar de enseñar el ‘por qué’ detrás del ‘cómo’ cuando se trata de matemáticas, y trato de hacer esto tanto como puedo. Saber el ‘por qué’ realmente puede ayudar a reducir las cosas que tiene que memorizar y hacer el trabajo mucho más simple. Pero en cierto punto todavía necesitas decir ‘qué hago’ y practicar algunos problemas. De eso se trata esta lección. Repasaremos rápidamente cuatro ejemplos para que pueda comenzar a sentirse cómodo con los tipos de preguntas que puede ver sobre las desigualdades.

Le invito a que pause el video tan pronto como le presente cualquiera de los cuatro ejemplos y trate de resolver el problema por su cuenta para ver qué tan bien lo hace. Y luego, mire mi trabajo para comparar cómo lo hizo con lo que hice yo, vea si lo hizo de una manera diferente, o tal vez, vea dónde estuvo su error. Al analizar el ejemplo primero, usted mismo, a menudo puede ir al grano sobre cuáles son las cosas específicas que necesita, versículos para tratar de aprender todo cuando tal vez ya sepa la mayor parte.

Problema de práctica n. ° 1

Aquí vamos. Nuestro primer ejemplo:

Resuelve y representa gráficamente la desigualdad -6 x – 3> 10

Esta es una desigualdad de 1 variable porque solo hay una letra x , y no es una desigualdad compuesta porque solo hay un símbolo mayor o menor que. Esto significa que podemos simplemente usar operaciones inversas para obtener la x por sí misma y hacer nuestra gráfica cuando hayamos terminado.

Puedo comenzar quitando la capa más externa -3 con un +3. Ahora la capa más externa es multiplicada por -6. Deshago la multiplicación con la división. Dividir ambos lados por -6 me da una fracción en el lado derecho, lo cual está bien: -13/6. Ahora también debo recordar la regla de oro sobre las desigualdades, es decir, debemos voltear el símbolo de desigualdad cuando dividimos o multiplicamos ambos lados por un número negativo. Por lo tanto, la desigualdad resuelta que obtengo es x <- 13/6.

Ahora estamos listos para graficar. Debido a que esta es una desigualdad de 1 variable, coloco mi gráfica en una recta numérica. Me dirijo a -13/6, que es aproximadamente -2,17. Pongo un círculo abierto allí, no lo completo, porque es menor, no o igual a. Dibujo una flecha que va hacia la izquierda para indicar que se permiten todos los números que son más pequeños que esto.

Solución al problema n. ° 1

Problema de práctica n. ° 2

En el ejemplo dos:

Resuelve y representa gráficamente la desigualdad 6 <( x – 1) / 2 <_ 7

Aquí tenemos otra desigualdad de 1 variable, pero ahora es una desigualdad compuesta porque hay dos símbolos mayor o menor que. Este ejemplo es una desigualdad compuesta Y porque la variable está intercalada entre dos valores, lo que me dice que mi respuesta, mi gráfica, debería verse así. Seguiremos usando operaciones inversas para obtener la x por sí sola, pero como hay dos símbolos de desigualdad, tendremos que resolver dos problemas en uno.

Hay dos métodos para hacer esto. Por lo tanto, puede resultar confuso resolver dos problemas en uno. Entonces, hay dos métodos para hacer esto. En uno, dividimos la desigualdad en dos desigualdades separadas y las resolvemos individualmente. En uno que será un poco más rápido, lo dejamos como una desigualdad compuesta y hacemos ambos problemas a la vez. Te mostraré ambas formas (una a un lado y otra al otro), y tú puedes decidir cuál te gusta más.

Depende de nosotros obtener la x por sí sola. Tengo que usar operaciones inversas para deshacer lo que se esté haciendo. Mirando la expresión con la x en ella, la capa más externa se divide por 2, lo que significa que tengo que multiplicar por 2 para deshacer eso. En el largo camino, donde lo dividimos, puedo simplemente multiplicar por 2 en ambos lados en ambas desigualdades. Terminas con esto. Pero ves en el método donde estoy haciendo ambos lados a la vez, puedo expresar todo eso en una línea, y termino con una declaración muy similar. Ahora la única operación para deshacer es -1. Deshago la resta con la suma. Agrego 1 a ambos lados, y no importa qué método estés usando, terminas con 13 < x <_ 15.

Ahora que hemos resuelto la desigualdad compuesta, podemos graficarla haciendo una pieza a la vez. Puedo comenzar poniendo x > 13 en el gráfico colocando un círculo abierto en 13 porque es simplemente mayor que no igual a y dibujando una flecha a la derecha para indicar todos los valores que son mayores. Puedo poner x > _ 15 poniendo un círculo cerrado, un círculo relleno, en 15 para indicar que podría ser o igual a y una flecha que va hacia la izquierda para indicar que todos los valores son más pequeños que eso. Debido a que esta es una desigualdad AND, necesito que ambas cosas sean ciertas, lo que significa que las únicas soluciones son aquellas en las que se encuentran ambas gráficas, donde se superponen.

Solución al problema n. ° 2

Problema de práctica n. ° 3

En el ejemplo tres:

Gráfico 2 x – 3 y > 6

Esta es nuestra primera pregunta de desigualdad de 2 variables porque tenemos x sy y s. Aunque necesitamos indicar en nuestro gráfico dónde 2 x – 3y> 6, primero necesitamos encontrar la línea límite entre las regiones mayor y menor que. Esta línea de límite justo entre mayor que y menor que es donde 2 x – 3y = 6. Entonces, primero podemos usar nuestras habilidades para graficar ecuaciones lineales para trazar esta línea.

Debido a que esta línea está en forma estándar, podríamos usar el método de intersección , que es un atajo, para sustituir x e y en ceros para encontrar los puntos correspondientes, poner esos puntos en nuestra gráfica, conectarlos para encontrar nuestra línea, pero yo He descubierto que la mayoría de los estudiantes preferirían poner la pregunta en forma de intersección de pendiente e ir desde allí.

Para usar este método de intersección de pendiente, primero tenemos que obtener la y por sí misma usando operaciones inversas. Deshaciendo el 2 x y deshaciendo el -3 delante de la y nos da nuestra forma de intersección de pendiente de esta ecuación: ‘ y = 2/3 x – 2. La forma de intersección de pendiente de nuestra ecuación nos dice que -2 es nuestra y – interceptar. Es nuestro valor inicial. Entonces, bajo a -2 en nuestro gráfico y pongo un punto. Luego, uso la pendiente para decirme que suba 2, más de 3 para encontrar nuestro siguiente punto, y conecto mis dos puntos para obtener mi línea: y = 2/3 x – 2.

Solo para señalar que el método de intercepción de atajos habría funcionado, tenga en cuenta que los dos puntos que encontramos en ese atajo son exactamente los dos mismos puntos que graficamos aquí. Entonces, de cualquier manera funciona.

Ahora que tenemos la línea de límite dibujada donde 2 x – 3 y = 6, necesitamos encontrar el área de la gráfica donde 2 x – 3 y > 6. Para averiguar qué lado del límite es el lado mayor que, Puede sustituirlo en un punto de prueba y ver si funciona. 0,0 es a menudo el más fácil de probar, por lo que conectarlo a nuestra desigualdad original nos da 2 (0) – 3 (0) y queremos verificar – ¿Es mayor que 6? Simplificar la expresión hacia abajo nos da el enunciado de que 0> 6, lo cual, obviamente, no es cierto. Por lo tanto, eso significa que el lado de la línea en el que está 0,0 no es el lado mayor que, pero es el lado menor que. Lo que significa que todos los puntos sobre la línea son donde 2 x – 3 y<6. Como queremos el lado mayor que, eso significa que nuestra respuesta no está por encima de la línea, sino por debajo de ella. El área donde 2 x – 3 y > 6 es todo lo que está debajo de la línea que dibujamos anteriormente. Por último, al notar que nuestra desigualdad era estrictamente mayor que y no igual a, debemos cambiar nuestra línea límite a una línea de puntos para indicar que no es parte de nuestra solución.

Gráfica de la desigualdad en el problema # 3

Problema de práctica n. ° 4

Para nuestro último ejemplo, simplemente agreguemos más desigualdades de 2 variables al último problema y conviértalo en un sistema de desigualdades :

Gráfico 2 x – 3 y > 6 e y <_ – x e y > -3

Como ya sabemos cómo se ve la primera desigualdad (se parece a nuestro último problema), podemos comenzar con esa en nuestra gráfica. Pero ahora, debido a que hay múltiples desigualdades en un problema, debemos colocar las otras en el mismo conjunto de ejes que este. Simplemente podemos hacer uno a la vez.

Comencemos con nuestro segundo: y <_ – x . Esto ya está en forma de intersección de pendiente, aunque puede que no se vea como y <_ -1 x + 0. Eso significa que puedo comenzar el gráfico en 0, bajar uno sobre uno, conectar los puntos y terminar con la línea, así. Para saber de qué lado sombrear necesitamos probar un punto, pero nuestro probador típico, el origen 0,0, está fuera porque está justo en la línea, por lo que no nos va a dar mucha información útil. Puede elegir cualquier otro punto que desee. No importa mientras no esté en la línea, siempre que obviamente esté en un lado o en el otro, pero iré con 2,2.

Sustituir 2,2 en la desigualdad y <_ – x nos da el enunciado 2 <_ -2, que no es cierto. Por lo tanto, el lado de la línea en el que está 2,2 no es el lado que queremos sombrear, y sombreamos todo lo que está debajo. Ahora debemos recordar que estamos graficando un sistema de desigualdades, lo que significa que nuestra respuesta es solo el área donde se cruzan las sombras de ambas desigualdades. Esto significa que hasta ahora nuestra respuesta es solo la región triangular debajo de ambas líneas.

Ahora, por último, podemos agregar nuestra última desigualdad, y > -3. El tipo de desigualdad en este problema puede ser engañoso porque solo hay una variable, pero cuando el problema nos da restricciones sobre y , implica que x puede ser lo que queramos. Esto significa que continuamos con el método normal y graficamos la línea de límite, y = -3.

Y es igual a las líneas en un plano de coordenadas que son líneas horizontales en el valor que indica, por lo que esta línea es simplemente una línea izquierda y derecha directamente en -3. Todavía podemos sustituir un valor para ver si funciona, y 0,0 es válido nuevamente porque no está en el límite. Como no nos importa qué es x , simplemente poner 0 para y nos da el enunciado 0> -3. Esta vez eso es cierto, así que el lado 0,0 de la línea y = -3 es el lado que queremos. Sombreamos todo por encima de esta línea.

Tenemos que recordar convertirlo en una línea de puntos cuando sea estrictamente mayor que, para que podamos seguir adelante y borrar pequeños fragmentos de la línea para convertirla en una línea de puntos. Finalmente, teniendo en cuenta que es un sistema de desigualdades, nuestra solución es, nuevamente, solo la región donde este nuevo sombreado se cruza con el sombreado de las dos desigualdades anteriores. Borrar todas las áreas donde este nuevo sombreado está por sí solo y solo dejar las áreas donde este nuevo sombreado se cruza con los demás, nos da nuestra respuesta final como la pequeña región triangular que está arriba de la línea y es igual, pero debajo de ambas líneas diagonales. Cualquier coordenada x , y que se encuentre en esta región hará que cualquiera de las tres desigualdades adicionales sea verdadera si reemplaza los puntos.

Gráfica del sistema de desigualdades del problema # 4

Resumen de la lección

Para revisar:

• Al resolver desigualdades, debes voltear el signo cada vez que multipliques o dividas ambos lados por un número negativo.
• Las gráficas de desigualdades de 1 variable van en una recta numérica y se ven así.
• Las gráficas de desigualdades de 2 variables van en planos de coordenadas y se ven así.
• Todos los sistemas de desigualdades de 2 variables son problemas Y, lo que significa que las soluciones son solo las regiones de las gráficas que se superponen.

Objetivos de la lección

Una vez que termine esta lección, podrá:

• Resolver desigualdades de 1 y 2 variables
• Gráfico 1 y desigualdades de 2 variables