Rodrigo Ricardo

Graficar una traducción de una función racional

Publicado el 22 noviembre, 2020

Traducciones de funciones racionales

Suponga que su jefe acaba de entrar en su oficina en el trabajo para darle el modelo y = 3 / x que se ajusta a algunos datos que está analizando. Ella le pide que lo grafique. Matemáticamente hablando, la función es un ejemplo de función racional. Una función racional es una función con la variable en el denominador. A veces se les llama funciones de mariposa porque los gráficos de funciones racionales simples tienen dos partes que se parecen un poco a las alas de una mariposa.

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Ingresa la función que le dio su jefe en su sistema informático e imprime el gráfico.

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Observe la gráfica se acerca, pero no toca, la x y Y ejes (las líneas x = 0 y y = 0). Cuando un gráfico se acerca a una línea de esta manera, llamamos a la línea una asíntota de la función.

Imprime el gráfico y se da cuenta de que, al hacerlo, ha agotado el último papel de la impresora. Tan pronto como se imprime el gráfico, su jefe viene corriendo y dice que se equivocó y que el modelo debería haber sido y = 3 / ( x – 2) + 4. Todo el papel de la impresora está agotado, por lo que no puede ¡use su sistema informático para imprimir un nuevo gráfico! ¿Cómo va a producir una gráfica del modelo correcto?

Resulta que el modelo correcto es en realidad lo que se llama una traslación de la función racional y = 3 / x , donde una traslación es el deslizamiento de una gráfica a lo largo de una línea recta. Afortunadamente, tenemos un buen truco para graficarlos cuando conocemos la gráfica de la función original. Echemos un vistazo a cómo determinar la gráfica del modelo correcto a partir de la gráfica del modelo anterior.

Graficar traducciones de gráficos conocidos

En general, esta función racional toma la forma:

y = a / ( xh ) + k

Esta es una traducción de la función y = a / x , y h y k nos dan toda la información que necesitamos para realizar la traducción y graficar y = a / ( xh ) + k . Verá que la gráfica de y = a / ( xh ) + k es la gráfica de y = a / x traducida h unidades horizontalmente y k unidades verticalmente.

En el caso de su ejemplo de trabajo, y = 3 / ( x – 2) + 4, h = 2 y k = 4. Por lo tanto, el modelo correcto es la gráfica de y = 3 / x trasladada 2 unidades a la derecha y 4 unidades arriba. ¡Excelente! Todo lo que tenemos que hacer es tomar la gráfica de y = 3 / x que ya tenemos y moverla 2 unidades hacia la derecha y 4 unidades hacia arriba.

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¡Problema resuelto! ¡Te mereces un aumento!

Esta es una excelente manera de graficar las traducciones de funciones racionales cuando tenemos la gráfica original. Pero, ¿y si no tenemos el gráfico original? Veamos cómo podemos graficar y = a / ( xh ) + k si no tenemos la gráfica de y = a / x .

Graficar traducciones sin el gráfico original

Cuando tenemos una función racional de la forma y = a / ( xh ) + k , h y k no solo nos dan las traslaciones horizontal y vertical de y = a / x , sino que también nos dicen las asíntotas de la función y = a / ( xh ) + k . Verá, x = h y y = k son las asíntotas vertical y horizontal, respectivamente, de y = a/ ( xh ) + k . Por lo tanto, podemos usar los siguientes pasos para graficar y = a / ( xh ) + k cuando no tenemos la gráfica de y = a / x .

  1. Dibuja las líneas x = h y y = k . Estas son tus asíntotas.
  2. Usa la función para encontrar puntos a la izquierda y derecha de x = h , y grafícalos.
  3. Conecta los puntos en forma de función racional. Las dos alas deben acercarse a las asíntotas, pero nunca tocarlas.

Por ejemplo, para graficar y = 3 / ( x – 2) + 4 sin usar la gráfica de y = 3 / x , podemos usar estos pasos. Primero, primero dibujamos las asíntotas en x = 2 e y = 4.

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A continuación, encontramos algunos puntos a la izquierda y a la derecha de x = 2 y los trazamos.

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Por último, conectamos los puntos en consecuencia.

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Vemos que obtenemos el mismo gráfico, ¡como se esperaba!

Resumen de la lección

Una función racional es una función con la variable en el denominador. Las gráficas de funciones racionales tienen asíntotas , que son líneas a las que se aproxima la gráfica, pero que no toca.

Una función racional en la forma y = a / ( xh ) + k es una traslación del gráfico y = a / x , donde una traslación es el deslizamiento de un gráfico a lo largo de una línea recta. Tanto h como k en y = a / ( xh ) + k nos dan información vital que podemos usar para graficar la función. Por un lado, h y k son el número de unidades que traducimos la gráfica de y = a/ x horizontal y verticalmente, respectivamente, para obtener la gráfica de y = a / ( xh ) + k . En segundo lugar, x = h e y = k son las asíntotas horizontal y vertical, respectivamente, de la gráfica de y = a / ( xh ) + k .

Por lo tanto, para graficar esta función, podemos traducir la gráfica de y = a / x en consecuencia, o podemos dibujar las asíntotas, trazar algunos puntos estratégicos y conectar los puntos en consecuencia. De cualquier manera, vemos que graficar las traducciones de funciones racionales no es muy difícil, lo cual es genial porque puede ser una gran herramienta cuando se trabaja con funciones racionales y sus gráficos.

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