Identidades pitagóricas en trigonometría: definición y ejemplos

Publicado el 23 septiembre, 2020

Definición de identidades pitagóricas

Las identidades pitagóricas en trigonometría son las tres identidades que provienen del teorema de Pitágoras. Recuerda que el teorema de Pitágoras establece que la hipotenusa al cuadrado de un triángulo rectángulo es la suma del cuadrado de cada uno de los otros dos lados, o un cuadrado más b al cuadrado es igual a c al cuadrado, como puede ver aquí:

identidad pitagórica

En el teorema de Pitágoras, c representa la hipotenusa, y una y b representan los otros dos lados del triángulo rectángulo. A partir de este teorema, se pueden determinar tres identidades sustituyendo en seno y coseno.

La Primera Identidad

El primero que aparece aquí probablemente se parece mucho al teorema de Pitágoras.

identidad pitagórica

Esta identidad proviene de mirar el círculo unitario. Todos los triángulos rectángulos formados por el círculo unitario tendrán una hipotenusa de 1. Con una hipotenusa de 1 y con nuestro ángulo en el origen del plano de coordenadas en el que se dibuja el círculo unitario, podemos determinar algunas relaciones entre los lados y nuestro seno y coseno.


El triángulo del círculo unitario con una hipotenusa de 1.
identidad pitagórica

Mirando este triángulo con una hipotenusa de 1, veo que mi razón para sin (theta) es a / 1, entonces sé que a = sin (theta). Mi coseno entonces es b / 1, entonces b = cos (theta), y mi c = 1. Conectando estos valores al teorema de Pitágoras, llegamos a nuestra primera identidad.

Esta identidad es útil cuando ve un problema con un seno al cuadrado más un coseno al cuadrado. Puede usar esta identidad y reemplazar el seno al cuadrado más el coseno al cuadrado con el 1.

identidad pitagórica

El ejemplo que aparece aquí muestra solo una forma en que puede usar esta identidad. Puede reemplazar el seno al cuadrado más el coseno al cuadrado con el 1, o puede reemplazar el 1 con el seno al cuadrado más el coseno al cuadrado. Dependerá del problema y de lo que hará que el problema sea más fácil de resolver.

La segunda identidad

Nuestra segunda identidad en realidad proviene de la primera. Esta identidad tiene uno de los lados igual a 1.

identidad pitagórica

Para llegar a esta identidad, dividimos nuestra primera identidad entre el seno al cuadrado para que un lado sea igual a 1. Sabemos que el coseno al cuadrado dividido por el seno al cuadrado es cotangente al cuadrado, y también sabemos que 1 dividido por el seno al cuadrado es cosecante. al cuadrado. Usando estas propiedades, llegamos a nuestra segunda identidad: 1 más la cotangente al cuadrado es la cosecante al cuadrado.

Puede usar esta identidad de la misma manera que usaría la primera. Como puede ver, tenemos:

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La tercera identidad

Nuestra tercera identidad tiene el último lado igual a 1. Para hacer esto, necesitamos dividir nuestra primera identidad por el coseno al cuadrado. Ya conocemos algunas propiedades de la trigonometría, como el seno al cuadrado dividido por el coseno al cuadrado es igual a la tangente al cuadrado, y que 1 dividido por el coseno al cuadrado es la secante al cuadrado. Tener toda esta información nos permite llegar a nuestra tercera identidad: la tangente al cuadrado más 1 es igual a la secante al cuadrado.

identidad pitagórica

Esta identidad, como las dos primeras, se puede usar en problemas para ayudarlo a simplificar y resolver.

identidad pitagórica

En este último problema, resolví la tercera identidad para la tangente al cuadrado menos la secante al cuadrado. Me da -1, por lo que puedo usar esa sustitución en mi problema.

Resumen de la lección

Dediquemos un par de minutos a revisar lo que hemos aprendido. Solo hay tres identidades pitagóricas , que son simplemente las tres identidades que provienen del teorema de Pitágoras. Cada uno puede derivarse del otro mediante alguna sustitución trigonométrica y haciendo referencia a algunas propiedades trigonométricas. Todos se basan en el teorema de Pitágoras y todos usan el triángulo del círculo unitario. Si ha entendido la lección, debería poder calcular fácilmente cada una de las tres identidades pitagóricas.

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