Identificar líneas en el espacio

Publicado el 23 septiembre, 2020

Hay líneas por todas partes a nuestro alrededor; en el borde de una hoja de papel, por ejemplo, o en el contorno de una mesa. Matemáticamente, una línea se define como una línea de puntos que se extiende infinitamente en dos direcciones. Los primeros ejemplos, formalmente, son segmentos de línea, es decir, una parte de una línea que tiene puntos finales definidos, porque las líneas verdaderas son muy difíciles de encontrar en la vida real. Sin embargo, son muy útiles en matemáticas. Hay varias formas de representar la ubicación de una línea en el espacio.

1.) Ecuación vectorial : Necesitamos un punto de la línea y un vector de dirección , que da la dirección de la línea. En la imagen, P ( x 0 , y 0 , z 0 ) puede ser el punto y d = ( d 1 , d 2 , d 3 ) el vector director.

Una línea representada en un gráfico 3D que pasa por un punto designado y es paralela a una flecha que indica un vector de dirección.

Entonces, la línea r es:

r : ( x , y , z ) = ( x 0 , y 0 , z 0 ) + t ( re 1 , re 2 , re 3 )

¿Cómo calcular un vector de dirección?

Si tenemos 2 puntos de la recta, P ( x 0 , y 0 , z 0 ) y Q ( x 1 , y 1 , z 1 ), podemos calcular el vector de dirección restando las coordenadas de cada punto de las del otro, usando la ecuación general:

d = PQ = (x0-x1, y0-y1, z0-z1

Por ejemplo:

Si tenemos dos puntos de la recta, P = (4,7,2) y Q = (3, -1,4):

d = PQ = (3-4, -1-7,4-2)

d = (- 1, -8,2)

Entonces, la ecuación de la recta será:

( x , y , z ) = (4,7,2) + t (-1, -8,2)

2.) Ecuaciones paramétricas , que pueden derivarse de la ecuación vectorial. Operando sobre la línea vectorial, obtenemos la siguiente igualdad:

r : ( x , y , z ) = ( x 0 + t re 1 , y 0 + t re 2 , z 0 + t re 3 )

Luego,

x = x 0 + t d 1

y = y 0 + t d 2 Este conjunto de ecuaciones es la forma paramétrica de la ecuación.

z = z 0 + t d 3

3.) La ecuación continua o simétrica , que se puede derivar de la ecuación paramétrica. Aislando t en cada ecuación, obtenemos:

t = x-x0 / d1

t = y-y0 / d2

t = z-z0 / d3

Entonces, si igualamos t, obtenemos:

x-x0 sobre d1 = y-y0 sobre d2 = z-z0 sobre d3

Cuál es la ecuación continua o simétrica.

Podemos encontrar un punto en una línea definida por cualquiera de estas ecuaciones reemplazando t con cualquier valor.

La matemática es tan completa que siempre tiene más de una forma de resolver el ejercicio. Suponga que tenemos dos planos que se cruzan. Donde se encuentran, también tenemos una línea. Como ejemplo, imagine la esquina de una habitación; donde las dos paredes se cruzan define una línea.

una esquina donde dos paredes se encuentran resaltadas por una línea roja

Analíticamente, la intersección de planos se puede representar mediante el siguiente sistema de ecuaciones:

R es ax + por + cz + d = 0 y ex + fy + gz + h = 0

que se llama la ecuación implícita de la línea.

Al resolver este sistema, se obtiene la forma vectorial de la ecuación, que podemos convertir a las otras dos formas.

Ejemplo:

Determinar la ecuación vectorial, paramétrica y continua de la recta que pasa por el punto A (1, 2, 1) y con vector direccional d = (4, 5, -1)

Ecuación vectorial:

r: ( x , y , z ) = (1, 2, 1) + t (4, 5, -1)

Ecuación paramétrica:

x = 1 + 4 t

y = 2 + 5 t

z = 1 – 1 t

Ecuación continua:

x - 1 sobre 4 = y - 2 sobre 5 = z - 1 sobre -1

Resumen de la lección

Si tenemos un punto y un vector de dirección, podemos definir una línea en el espacio de cuatro formas diferentes.

1.) Ecuación vectorial:

r : ( x , y , z ) = ( x 0 , y 0 , z 0 ) + t ( re 1 , re 2 , re 3 )

2.) Ecuación paramétrica:

x = x 0 + t d 1

y = y 0 + t d 2

z = z 0 + t d 3

3.) Ecuación continua o simétrica:

x-x0 sobre d1 = y-y0 sobre d2 = z-z0 sobre d3

4.) Ecuación implícita:

R es ax + por + cz + d = 0 y ex + fy + gz + h = 0

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