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Integrales Definidas: Definición

Publicado el 1 octubre, 2020

Integrales definidas


Ecuación para la integral definida
Ecuación integral definida

Digamos que quiere encontrar el área entre alguna línea y el eje x . Sabes que podrías usar un enfoque de suma de Riemann. Este enfoque divide la región en un montón de cortes diferentes y usted estima el área de cada corte. A medida que el ancho de cada corte se vuelve más delgado, su estimación del área total mejora. Eventualmente, obtendrás el área total exactamente. Escribimos esto como el límite cuando delta x va a cero de la suma de todos los cortes de k = 1 an de f ( x sub k ) * delta x sub k , o la altura por el ancho de cada corte.

Este límite es igual a la integral definida de a a b de f (x) dx . Esta es la integral , pero ¿qué significa integral? Dijimos que puede significar el área bajo la curva, pero ¿siempre significa eso?

Ejemplo 1


Graficar la velocidad en función del tiempo
Graficar la velocidad en función del tiempo

Consideremos este ejemplo: estás conduciendo y grafica tu velocidad en función del tiempo. Digamos que su velocidad es de 20 mph, así que grafiquemos eso. Conduce a 20 mph desde t = 0 hasta t = .5 hrs. Si conduce durante media hora a 20 mph, ¿qué distancia ha recorrido? Bueno, 20 * .5 significa que ha recorrido 10 millas, porque la distancia recorrida es su velocidad * tiempo. En este gráfico en particular, la velocidad es la altura de la caja y el tiempo es el ancho de la caja, y la velocidad * tiempo le da el área de esta caja. En el caso de que esté graficando la velocidad como una función del tiempo, la integral (el área debajo de la curva) también es igual a la distancia que ha viajado.

Ejemplo # 2

Veamos otro caso. Digamos que durante la primera media hora, conduces a 20 mph porque estás atrapado en el tráfico. Luego, durante la siguiente media hora, vas a 40 mph; el tráfico se ha vuelto un poco más ligero. ¿Qué tan lejos has viajado? La primera media hora viajó 10 millas. En la segunda media hora, ha viajado 20 millas, porque 40 * .5 = 20). En total, ha viajado 10 + 20 millas, que son 30 millas. Nuevamente, esta es el área debajo de la curva de velocidad en función del tiempo.


Área debajo de la curva de velocidad en función del tiempo
Velocidad en función del tiempo Gráfico 2

En este caso, la integral de la velocidad en función del tiempo le da el área bajo la curva, que es su distancia recorrida. Podemos hacer esto un poco más específico y decir que si su velocidad se da como una función, f (t) , y está viajando desde el tiempo a hasta el tiempo b , entonces la distancia que ha viajado es igual a la integral de menor límite a al límite superior b de f (t) dt . En este caso, está integrando la función f (t) con respecto a t .

Ejemplo # 3

Pero, ¿qué pasa en un caso como este? Aquí, su velocidad es de 30 mph durante la primera media hora, tal vez esté conduciendo lejos de casa, y 30 minutos adentro, su velocidad se convierte en -30 mph. Usted detiene el automóvil a la media hora de su recorrido, lo pone en reversa y conduce hacia atrás a 30 mph durante media hora. En este caso, si avanza a 30 mph durante media hora y luego retrocede a 30 mph durante media hora, terminará en el mismo lugar. Entonces, aquí si integro desde un límite inferior de t = 0 a un límite superior de t = 1 mi función f (t) dt , obtengo cero. Si solo estuviera mirando el área, no sería cero, sería un número positivo . ¿Que pasó?

Este es un hecho muy importante sobre las integrales. Antes dijimos que una suma de Riemann es solo un área, pero una integral puede ser positiva o negativa. Si está por encima del eje x , es el área, pero si está por debajo del eje x , es el área negativa.


La distancia recorrida es igual al área bajo la curva
Integrales definidas definidas Ejemplo 3

Volvamos a nuestra conducción hacia adelante y hacia atrás. Durante la primera media hora, viaja a 30 mph (30 * .5 = 15). Eso es 15 millas adelante, porque estás avanzando. Multipliquemos el ancho de esto por la altura. La altura será negativa, 0.5 * -30 = -15 millas. Esta no es el área debajo del gráfico, porque el área no puede ser negativa. Pero, esta es la integral de esta región. Cuando sumas estas dos integrales, tienes 15-15 = 0.

Resumen de la lección

Revisemos. La integral definida es el límite cuando delta x va a cero de la suma de k = 1 an de f ( x sub k ) * delta x sub k . Esto es solo sumar todas sus porciones en la suma de Riemann. Esto es igual a la integral de a a b de f (x) dx . Una integral por encima del eje x será positiva y una integral por debajo del eje x será negativa.

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