Rodrigo Ricardo

Interpretación de soluciones de ecuaciones y desigualdades lineales de varios pasos

Publicado el 3 noviembre, 2020

Ecuaciones y desigualdades lineales de varios pasos

¡Supongamos que Bobby acaba de inventar un invento llamado FidoReader que le permite leer los pensamientos de un animal! Está emocionado de producir y vender este dispositivo. Analiza algunos números y encuentra que el costo de producción se puede modelar con la siguiente fórmula:

  • C = 50 x + 150, donde x es el número de productos producidos.

Además, sabe que solo tiene $ 800 para gastar para empezar. Si conectamos C = 800 en la fórmula de costo, obtenemos lo siguiente:

  • 800 = 50 x + 150

Resolver para x nos da la cantidad de FidoReaders que puede producir, con $ 800 como x = 13.

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Observe que esta ecuación tomó más de un paso para resolverse. En matemáticas, llamamos a este tipo de ecuación una ecuación lineal de varios pasos en una variable porque se necesita más de un paso para resolver, es lineal y solo tiene una variable. Cualquier número que, cuando se inserta para la variable, hace que la ecuación sea verdadera, se llama solución a la ecuación.

Después de pensarlo un poco, Bobby se da cuenta de que lo que realmente quiere saber es cuántos FidoReaders puede producir que mantendrán el costo menor o igual a $ 800. De esta manera, es posible que no tenga que gastar los $ 800 completos. Esta nueva información cambia la ecuación a una desigualdad.

  • 50 x + 150 ≤ 800

En matemáticas, esta nueva expresión se llama desigualdad lineal de varios pasos en una variable . También requiere más de un paso para resolver, es lineal y solo tiene una variable. Sin embargo, una solución a estas desigualdades es un rango de números que, cuando se conectan para la variable, hacen que la desigualdad sea verdadera.

Una buena forma de recordar la diferencia entre ecuaciones y desigualdades es que las ecuaciones implican el signo igual, mientras que las desigualdades implican los símbolos ≤, ≥, <y>.

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Una cosa a tener en cuenta al resolver desigualdades es que si multiplicamos o dividimos por un número negativo, tenemos que cambiar la dirección del símbolo de desigualdad.

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La solución a la desigualdad de Bobby es x ≤ 13, por lo que para mantener el costo de producción por debajo de $ 800, Bobby puede producir hasta 13 FidoReaders.

Interpretación abstracta de soluciones

Acabamos de ver que la solución de una ecuación lineal de varios pasos es un valor único y que la solución de una desigualdad lineal de varios pasos es un rango de valores. En términos abstractos , podemos interpretar estas soluciones en una recta numérica.

Consideremos la solución de una ecuación lineal. Dado que este es un valor único, podemos representar esta solución en una recta numérica con un círculo cerrado en el valor de la solución. Por ejemplo, vimos que la solución a nuestra ecuación de costos era x = 13. En una recta numérica, representamos esto trazando un punto en x = 13.

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Ahora, considere la solución de una desigualdad lineal. Dado que la solución es un rango de valores, contiene más de un punto en una recta numérica y podemos graficar esa solución usando algunas reglas básicas.

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Mire nuestra desigualdad de costos. Encontramos que la solución es x ≤ 13, por lo que en una recta numérica, dibujamos un círculo cerrado en 13 y dibujamos una flecha que apunta a la izquierda de 13.

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Vemos que la interpretación abstracta de la solución x ≤ 13 son todos los números a la izquierda de 13, incluido 13, en la recta numérica.

Interpretaciones del mundo real

Cuando se trata de soluciones de ecuaciones lineales y desigualdades en una aplicación del mundo real , la interpretación de la solución se basa en el contexto del problema. Cuando pensamos en la solución, x ≤ 13, de nuestra desigualdad de costos, la interpretación del mundo real no diría que es un rango de valores en una recta numérica. Sería la cantidad de FidoReaders que resultará en un costo menor o igual a $ 800. De manera similar, la solución, x = 13, de la ecuación lineal se interpretaría como el número máximo de FidoReaders que Bobby puede producir, no como un punto en una recta numérica.

Como otro ejemplo, suponga que Bobby decide vender sus FidoReaders a un costo que da como resultado la siguiente ecuación de ingresos:

  • R = 350 x – 150

Quiere saber cuántos tiene que producir y vender para obtener un ingreso de al menos $ 2300, por lo que convierte la ecuación en una desigualdad y agrega 2300 para que R obtenga lo siguiente:

  • R = 350 x – 150 ≥ 2300, donde x es el número de productos producidos y vendidos.

Resuelve x para obtener x ≥ 7.

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La interpretación abstracta de esta solución es un rango de valores que son mayores o iguales que 7. En la recta numérica, son los números, incluido el 7, a la derecha del 7.

Sin embargo, la interpretación del mundo real de esta solución es que es la cantidad de FidoReaders que Bobby debería producir y vender para obtener una ganancia de al menos $ 2300.

Resumen de la lección

Una ecuación lineal de varios pasos en una variable es una ecuación (que involucra el signo igual) que es lineal, está en una variable y requiere más de un paso para resolver. Una solución a estas ecuaciones es un número que, cuando se conecta para la variable, hace que la ecuación sea verdadera.

Una desigualdad lineal de varios pasos en una variable es una desigualdad (que involucra ≤, ≥, <o>) que también es lineal, está en una variable y requiere más de un paso para resolver. Una solución a estas desigualdades es un rango de números que, cuando se conectan para la variable, hacen que la desigualdad sea verdadera.

Podemos interpretar soluciones de ecuaciones lineales de varios pasos y desigualdades de forma abstracta como puntos e intervalos en una recta numérica. Sin embargo, en una aplicación del mundo real de estas ecuaciones y desigualdades, la interpretación de la solución es una interpretación del mundo real determinada por el contexto del problema.

Comprender las interpretaciones de las soluciones a este tipo de ecuaciones y desigualdades, tanto de forma abstracta como en una situación del mundo real, puede ayudarnos a comprenderlas mejor en general. Por lo tanto, es una buena idea guardar esto en su caja de herramientas de matemáticas mentales para usarlo en el futuro.

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