Introducción a grupos y conjuntos en álgebra

Grupos y conjuntos: definiciones

Hola y bienvenido a esta lección sobre grupos y conjuntos. Los grupos y conjuntos algebraicos tienen una relación muy especial entre sí. De hecho, los grupos son siempre conjuntos, pero los conjuntos no siempre son grupos. ¿Confuso?

No lo estés. Es como decir que todas las vocales son letras, pero no todas las letras son vocales. ¿Ver?

Quizás las definiciones te ayuden a ver la relación. Un conjunto es una colección de elementos llamados elementos. Puede tener conjuntos de cualquier tipo de elemento (como coches, figuras de acción o números).

Un grupo es un conjunto combinado con una operación que sigue cuatro reglas algebraicas específicas.

Entonces, como puede ver, un conjunto por sí solo no es necesariamente un grupo, pero un conjunto que se combina con una operación y sigue las reglas es un grupo.

Usemos a las personas como un ejemplo vivo de los conceptos de esta lección.

Estas personas, reunidas en la pantalla, son un conjunto de personas:

Conjunto de personas

Para ser un grupo, tal vez el grupo podría ser un club o cualquier otra organización, esperarías que todas las personas que veas tengan un propósito compartido en lo que hacen juntos (esa sería la operación, lo que hacen), y espere encontrar algunas reglas de comportamiento para todos los involucrados.

En este grupo de mujeres, tenemos un grupo que llamaré el Club de Artesanos:

The Crafters Club es un grupo.

Todas las mujeres del grupo de artesanos son mujeres, obviamente, pero no todas las mujeres de nuestro grupo original son artesanas. Por lo tanto, las mujeres del grupo de artesanos comparten una operación específica: la elaboración. Probablemente tengan reglas de comportamiento que cumplir cuando están en su grupo.

Conjuntos

Por lo tanto, echemos un vistazo más de cerca a los conjuntos para comprenderlos realmente antes de continuar con los grupos. Como dije, un conjunto es solo una colección de elementos que llamamos elementos. Digamos que tienes mucha gente. Hay niños y niñas, así como hombres y mujeres adultos. Pero, solo quieres hablar con las mujeres adultas.

Puede escribir una nota larga explicando con quién le gustaría hablar, o simplemente podría escribir la solicitud en notación de conjunto , que es el formato algebraico adecuado para indicar un conjunto. Podrías escribir esto: {adulto | adulto = mujer}. Esto se traduce en inglés como ‘Me gustaría un conjunto de todos los adultos, de modo que (lo que significa siempre que) el adulto sea una mujer’.

¿Ves lo fácil que fue usar la notación de conjuntos?

Conjuntos numéricos

Los conjuntos funcionan igual con los números. ¿Qué pasaría si quisiera indicar que su conjunto incluye todos los enteros positivos?

Bueno, podrías escribir todos los números positivos que existen. En realidad, no podrías hacer eso porque la lista continuaría infinitamente. Nunca llegarías al final. ¿Entonces, cómo lo haces?

Así: { x es un miembro del grupo de enteros | x > 0}. Asi es como lo haces. Esta notación de conjuntos se traduce en todos los números que son enteros y mayores que 0. Si no está seguro de la traducción aquí, o le gustaría practicar más con conjuntos, mire la lección sobre Notación de constructor de conjuntos.

Pero, ¿cómo saber si un conjunto también es un grupo?

Operaciones de grupo

¿Recuerda nuestro primer ejemplo vivo del club? Las mujeres no serían consideradas un club o un grupo si no estuvieran todas trabajando hacia un objetivo similar definido por el grupo, ¿verdad? Aquí, son artesanos y la operación del grupo es la artesanía.

El primer requisito para que un conjunto de números sea un grupo es que se realice alguna operación en el conjunto. En matemáticas, sabemos que hay cuatro operaciones: suma, resta, multiplicación y división. ¿Correcto? ¡Incorrecto!

En realidad, solo hay dos operaciones: suma y multiplicación. En álgebra, cuando restamos, en realidad solo sumamos lo contrario: 5 – 5 es realmente 5 + (-5). Lo mismo ocurre con la división. Cuando dividimos, en realidad solo multiplicamos lo contrario: 5/5 es lo mismo que 5 x 1/5. (El inverso de 5 es 1/5). Entonces, comprender que solo hay dos operaciones disponibles realmente reduce las restricciones para determinar si un conjunto es también un grupo. Solo tenemos dos operaciones para probar.

Ahora bien, ¿a qué me refiero cuando digo que un aparato tiene una operación? Simplemente significa que vamos a elegir si sumaremos o multiplicaremos los elementos en un conjunto para ver si se aplican las reglas del grupo. Y decimos que el set se acabó con la operación. El conjunto de enteros sobre la suma significa que hemos elegido la operación suma para usar con todos los enteros de nuestro conjunto.

Reglas de grupo

He dicho que un conjunto debe tener una operación y seguir reglas para ser considerado un grupo. Hay cuatro reglas específicas que debe seguir un conjunto.

En términos de nuestro ejemplo viviente, puede pensar en esto como las reglas para los miembros del club. Además de tener un objetivo o acción común (como la operación en nuestros conjuntos de números), los grupos de clubes tendrían reglas que todos los miembros conocen y deben seguir para seguir siendo miembros del grupo. En realidad, esto es lo mismo para nuestros grupos algebraicos.

• Regla 1: El grupo debe contener una identidad . Una identidad es un elemento que deja todos los elementos del conjunto sin cambios cuando se combinan con la operación dada. Si bien eso suena complicado, en realidad es tan simple como cero para la suma y uno para la multiplicación porque cualquier cosa + 0 = lo mismo y cualquier cosa x 1 también = lo mismo. Vea, no se ha realizado ningún cambio aunque se haya realizado la operación.
• Regla 2: El grupo debe tener una inversa . Una inversa es un elemento opuesto que, cuando se combina con la operación, dará como resultado la identidad del grupo, esa cosa de la Regla 1. Nuevamente, esto suena complicado, pero en realidad no lo es. La identidad para la suma es cero, por lo que un ejemplo de una suma inversa sería 6 + -6 = 0. La identidad en la multiplicación es 1, por lo que un ejemplo de una inversa sería 1/2 x 2 = 1. Apuesto a que ya lo sabía, pero no sabía que tenían nombres oficiales reales.
• Regla 3: La operación debe ser asociativa (esto significa que no importa el orden de los elementos durante la operación). Por ejemplo: (1 + 2) + 3 es lo mismo que 1 + (2 + 3) y (2 x 3) x 4 = 2 x (3 x 4). En estos ejemplos, el orden de las operaciones no alteraría el resultado final. Puedes imaginar que si las operaciones no fueran de suma o multiplicación, realizar las operaciones en un orden diferente daría como resultado diferentes respuestas. Si no está seguro de por qué, revise la lección sobre el orden de operaciones.
• Regla 4: El grupo debe estar cerrado . Un grupo cerrado significa que el resultado de una operación realizada en cualquier elemento del grupo también es un elemento del grupo. Ahora bien, este parece realmente complicado, ¿no? ¿Cómo podría el resultado NO ser parte del grupo? Considere el conjunto S = {1, 2, 3}. Veamos primero la suma: 1 + 2 = 3; esta bien. 1 + 3 = 4; ¡Oh no! 4 NO está en nuestro set. Este no es un grupo. Lo mismo es cierto para la multiplicación con este conjunto: 1 x 2 = 2, 1 x 3 = 3. Hasta ahora todo bien. Pero, 2 x 3 = 6; 6 no está en el conjunto, por lo que se rompe la regla.

¡Todas las reglas deben aplicarse para que un conjunto sea un grupo! Si se rompe incluso una regla, entonces el conjunto no es un grupo.

Ejemplos

Entonces, ¿crees que lo tienes? Intentemos.

¿El conjunto de números enteros es un grupo sobre la suma?

Bueno, tenemos una operación definida para que podamos pasar a las reglas.

• Regla 1: Identidad. Sí, la identidad para la suma es 0 y es miembro del conjunto de números enteros.
• Regla 2: inversa. Si de nuevo. Todos los enteros tienen un inverso aditivo, que son miembros del conjunto de enteros. 1 y -1 son ejemplos de este aditivo inverso.
• Regla 3: Asociativo. Si de nuevo. Dentro de la suma de números enteros, el orden en que se agregan los números enteros no cambia el resultado final.

Y finalmente…

• Regla 4: Cerrado. Si de nuevo. Cuando se agrega un número entero a cualquier otro número entero, el resultado es siempre un número entero.

Entonces, sí, ¡el conjunto de números enteros es un grupo sobre la suma!

¿Y la multiplicación? ¿Es el conjunto de números enteros un grupo sobre la multiplicación?

Podemos evaluar esto de la misma manera:

• Regla 1: Identidad. Sí, la identidad multiplicativa para números enteros es 1 y 1 es un número entero.
• Regla 2: inversa. ¡No! El inverso multiplicativo del entero 2 es ½, y ½ NO es un entero; por tanto, esta regla no se aplica.

Podemos detenernos ahí. No se aplica una regla, por lo que el conjunto no es un grupo. No, el conjunto de números enteros no es un grupo sobre la multiplicación.

Para cualquier conjunto, simplemente aplique las reglas usando la operación elegida y verá rápidamente si el conjunto es un grupo o no.

Resumen de la lección

Esta lección está repleta de mucha información. Repasemos los aspectos más destacados usando nuestro ejemplo viviente para ayudar. Primero, un conjunto es solo una colección de elementos, como nuestra gente aquí.

Podríamos tener un conjunto de mujeres solo si quisiéramos. Un conjunto puede tener una condición (como solo las mujeres), pero no hay otras reglas que se apliquen. En álgebra, un conjunto se anota usando corchetes y definiendo cualquier condición, así: {x | x> 0}

Un grupo es un tipo especial de conjunto que implica una operación realizada en el conjunto y sigue cuatro reglas. Esto es similar a la idea de un club, como nuestro grupo de artesanos. La operación es el objetivo compartido de la elaboración, y las reglas son las reglas que el grupo tiene para sus miembros.

En álgebra, las operaciones son suma y multiplicación, y las reglas son identidad, inversa, asociativa y cerrada.

Espero que esta lección te haya ayudado a familiarizarte con los conceptos de conjuntos y grupos en álgebra. Gracias por ver. ¡Adiós!

Los resultados del aprendizaje

Después de esta lección, podrá:

• Definir conjunto y grupo
• Identificar la notación de un conjunto
• Enumere las cuatro reglas que un conjunto debe cumplir para ser considerado un grupo.
• Explica por qué solo hay dos tipos de operaciones en álgebra.