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Inverso de un teorema: definición y ejemplos

Publicado el 23 septiembre, 2020

¿Qué significa Converse?

En matemáticas, cuando tienes un teorema, es probable que tengas un teorema inverso. ¿Sabes lo que significa conversar ? Lo contrario de un teorema ocurre cuando se cambian la conclusión y la hipótesis de un teorema. Por ejemplo, si tiene un teorema general que dice “si esto, entonces eso”, entonces el teorema inverso diría “si eso, entonces esto”.

Aquí hay otro ejemplo:

  • Teorema: si vas a un restaurante chino, entonces te gusta la comida china.
  • Teorema inverso: si te gusta la comida china, entonces vas a un restaurante chino.

Si vas a un restaurante chino, entonces te gusta la comida china
teorema inverso

¿Ves cómo se ha cambiado todo? Además, el teorema real también puede ser el inverso del teorema inverso; son conversos el uno del otro.

Sin embargo, no todos los conversos son verdaderos, incluso si el enunciado original es verdadero. Por ejemplo, la siguiente afirmación es cierta todo el tiempo:

  • Si está lloviendo, me duele la rodilla.

Sin embargo, lo contrario puede no ser cierto todo el tiempo:

  • Si me duele la rodilla, entonces está lloviendo.

Su rodilla podría doler por otros factores, pero si tiene sensibilidad a la lluvia, le dolerá la rodilla siempre que llueva. Lo contrario no siempre es cierto; esto se aplica también a los teoremas matemáticos.

Un teorema

Veamos esta teoría con un teorema matemático del mundo real.

Un teorema famoso con el que probablemente ya hayas trabajado se llama Teorema de Pitágoras . Este teorema dice:

  • Si un triángulo es un triángulo rectángulo, entonces el cuadrado del lado más largo del triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados.

Probablemente no verá el Teorema de Pitágoras escrito en forma de palabra; lo más probable es que lo veas como una fórmula:

  • a 2 + b 2 = c 2

El c representa la hipotenusa del triángulo rectángulo (el lado más largo del triángulo), y la una y b soporte para los otros dos lados del triángulo.

Sabemos que este teorema es cierto todo el tiempo.

El converse

Ahora, veamos el inverso del Teorema de Pitágoras:

  • Si el cuadrado del lado más largo del triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, entonces el triángulo es un triángulo rectángulo

¿Es esto cierto todo el tiempo? Esta pregunta clave es en realidad algo que los matemáticos se han preguntado y han probado con éxito; lo contrario del Teorema de Pitágoras siempre es cierto. Esto significa que puede usar el teorema inverso para ayudar a demostrar que un triángulo es de hecho un triángulo rectángulo.

Ejemplos

Otro teorema importante en matemáticas es el teorema de líneas paralelas:

  • Si dos rectas paralelas son intersecadas por una transversal, entonces los ángulos alternos internos, alternos externos y los ángulos correspondientes son congruentes.

Este teorema es útil cuando necesitas encontrar las medidas de varios ángulos formados a partir de la transversal de dos líneas paralelas porque te dice qué ángulos son congruentes (o iguales) entre sí. En realidad, se puede dividir en varios teoremas inversos.

Estos teoremas inversos están fuera del alcance de esta lección y se utilizan para determinar si dos líneas son paralelas o no. Sepa que son muy útiles y han sido comprobados a lo largo del tiempo por varios matemáticos:

  • Si dos ángulos alternos internos son congruentes, entonces las dos líneas cortadas por una transversal son paralelas.
  • Si dos ángulos externos alternos son congruentes, entonces las dos líneas cortadas por una transversal son paralelas.
  • Si dos ángulos correspondientes son congruentes, entonces las dos líneas cortadas por una transversal son paralelas.

Resumen de la lección

¡Revisemos!

Lo contrario de un teorema es cuando la conclusión y la hipótesis se cambian.

Por ejemplo, cuando el teorema establece:

  • ” Si esto, entonces aquello ”

Entonces el inverso del teorema es:

  • ” Si eso, entonces esto ”

La conclusión ha sido reemplazada por la hipótesis y viceversa. Muchos teoremas matemáticos verdaderos tienen conversiones muy útiles que también se ha demostrado que son verdaderas. Los ejemplos incluyen los teoremas de Pitágoras y Paralelos.

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