La descripción sinusoidal del movimiento armónico simple

¿Qué es el movimiento armónico simple?

El movimiento armónico simple es cualquier movimiento en el que se aplica una fuerza restauradora que es proporcional al desplazamiento, en la dirección opuesta a ese desplazamiento. O en otras palabras, cuanto más lo tira hacia un lado, más quiere volver al medio. Los ejemplos clásicos de movimiento armónico simple incluyen una masa en un resorte y un péndulo. Con un resorte, cuanto más lo estiras, más tira hacia donde comenzó. Y con un péndulo, la tensión en la cuerda tiene un efecto similar.

El movimiento armónico simple también se considera PERIÓDICO, es decir, es un patrón que se repite. Si ignoramos las fuerzas de fricción, el movimiento de un péndulo o un resorte que rebota se repite. El tiempo para completar un ciclo completo se llama período de tiempo y se representa con una T mayúscula. Y el número de ciclos que ocurren cada segundo se llama frecuencia , representado por una f.

f = 1 / T

El período de tiempo se mide en segundos y la frecuencia se mide en hercios. Y estos dos valores son recíprocos entre sí: para pasar de uno a otro, se encuentra el recíproco. Entonces, un período de tiempo de 2 segundos será una frecuencia de uno sobre dos, o 0.5 hercios. Y un período de tiempo de 0,5 segundos, será una frecuencia de 2 hercios.

Ecuaciones sinusoidales

Hay muchas ecuaciones que describen el movimiento armónico simple. Hay ecuaciones de energía, ecuaciones que solo funcionan para la masa en el escenario de primavera, otras que solo funcionan para péndulos y ecuaciones cinemáticas. Hoy nos centraremos en la cinemática y veremos directamente el movimiento, ignorando las fuerzas.

El movimiento de un objeto en movimiento armónico simple es sinusoidal. ¿A qué nos referimos con eso? Queremos decir que valores como el desplazamiento, la velocidad y la aceleración varían en la forma de una curva de seno o coseno. Una curva sinusoidal se parece a la curva roja de abajo. Una curva de coseno se parece a la curva azul.

Una curva sinusoidal y una curva coseno

Una curva de coseno es solo una curva de seno desplazada hacia un lado; la forma fundamental es la misma.

Si observa el movimiento de un resorte o un péndulo, es fácil ver por qué es una curva sinusoidal. El movimiento de izquierda a derecha de un resorte que rebota se acelera y se ralentiza. En el medio se mueve rápido y en los bordes se mueve más lentamente. Y esto va y viene. Esto coincide con el patrón de una curva sinusoidal: la posición en el eje y cambia más rápidamente a medida que cruza el eje x y más lentamente en los picos y valles.

Aquí están las ecuaciones que usamos para describir el desplazamiento, la velocidad y la aceleración de un objeto en movimiento armónico simple:

Ecuaciones de desplazamiento, velocidad y aceleración

En estas ecuaciones, x es el desplazamiento en metros, v es la velocidad en metros por segundo y a es la aceleración en metros por segundo al cuadrado. Y están escritos en términos de la amplitud de la variación, A, (también conocido como el desplazamiento máximo), multiplicado por el seno omega-t, donde omega es la frecuencia angular de la variación y t es el tiempo.

Estas ecuaciones asumen que usted inicia su cronómetro en el medio – el tiempo t = 0 está justo en el medio mientras pasa a toda velocidad. Pero no tienes que hacerlo de esta manera. Si inicia el cronómetro en uno de los bordes exteriores, las ecuaciones siguen siendo bastante similares, pero los senos y cosenos se intercambian y algunos de los signos cambian. Esto se debe a que el seno y el coseno tienen realmente la misma forma, solo se han desplazado hacia la izquierda o hacia la derecha. Empiece su gráfico donde sea que su objeto esté en t = 0.

Finalmente, es posible que se esté preguntando: ¿qué es la frecuencia angular? Bueno, la frecuencia angular es el número de radianes que se completan cada segundo. Un total de 360 ​​grados es 2-pi radianes, y eso representa una oscilación completa: desde el medio, hacia un lado, hacia el centro, hacia el otro lado y luego hacia el centro nuevamente. Puede convertir a frecuencia regular dividiendo la frecuencia angular por 2-pi. La frecuencia regular solo le dice el número de ciclos completos por segundo y se mide en hercios. Entonces podemos ajustar nuestras ecuaciones sinusoidales y reemplazar la frecuencia angular con 2-pi-f, que las cambia para que se vean así:

Ecuaciones con frecuencia angular reemplazada

Resumen de la lección

El movimiento armónico simple es cualquier movimiento en el que se aplica una fuerza restauradora que es proporcional al desplazamiento, en la dirección opuesta a ese desplazamiento. Los ejemplos clásicos de movimiento armónico simple incluyen una masa en un resorte y un péndulo. El movimiento armónico simple también se considera PERIÓDICO, es decir, es un patrón que se repite. El tiempo para completar un ciclo completo se llama período de tiempo y se representa con una T mayúscula. Y el número de ciclos que ocurren cada segundo se llama frecuencia , representado por una f. El período de tiempo se mide en segundos y la frecuencia se mide en hercios. Y estos dos valores son recíprocos entre sí.

El movimiento de un objeto en movimiento armónico simple es sinusoidal. Aquí están las ecuaciones que usamos para describir el desplazamiento, la velocidad y la aceleración de un objeto en movimiento armónico simple (vea el primer conjunto de ecuaciones arriba). En estas ecuaciones, x es el desplazamiento en metros, v es la velocidad en metros por segundo y a es la aceleración en metros por segundo al cuadrado. Y están escritos en términos de la amplitud de la variación, A, (también conocido como el desplazamiento máximo), multiplicado por el seno omega-t, donde omega es la frecuencia angular de la variación y t es el tiempo. Estas ecuaciones asumen que usted inicia su cronómetro en el medio – el tiempo t = 0 está justo en el medio mientras pasa a toda velocidad.

Los resultados del aprendizaje

Mire este video y desarrolle los conocimientos necesarios para:

• Expresar comprensión del movimiento armónico simple
• Indique las definiciones de período de tiempo y frecuencia.
• Identificar las ecuaciones utilizadas para describir el desplazamiento, la velocidad y la aceleración de un objeto.