Las propiedades lineales de una derivada

Revisión rápida de derivados

La derivada de una función es su tasa de cambio.

La derivada de una función es la tasa de cambio de esa función. Entonces, para algo como y = f (x) , la derivada es cómo y está cambiando con respecto a x . Formalmente, escribimos esto como y` = dy / dx , y eso es igual al límite cuando delta x va a cero de ( f ( x + delta x ) – f (x) ) / delta x. Ahora, algunos derivados son simplemente difíciles. Entonces, ¿podemos usar lo que sabemos sobre las propiedades de los límites, lo que sabemos sobre esta parte, para facilitar la búsqueda de la derivada? Bueno, para los límites, sabemos “dividir y conquistar”. Las dos grandes propiedades de divide y vencerás que podemos usar aquí son propiedades para constantes y propiedades de tipo distributivo.

Regla constante de derivadas

Echemos un vistazo a estos a su vez. La primera propiedad que veremos se refiere a las constantes . Hagamos esto con un ejemplo. Digamos que f (x) = 60 x ^ 2. La derivada de f (x) es f` (x) , y voy a escribir esto como d / dx de 60 x ^ 2. Así es como 60 x ^ 2 está cambiando con respecto a x . Formalmente, este es el límite cuando delta x llega a cero de ( f ( x + delta x ) – f (x) ) / delta x . Conectemos f (x) y f (x)+ delta x . Entonces tenemos el límite cuando delta x va a cero de (60 ( x + delta x ) ^ 2-60 x ^ 2) todo dividido por delta x . Podemos expandir esto y simplificar, eliminando los 60 x ^ 2s. Podemos dividir tanto la parte superior como la inferior por delta x . Lo que encontramos es que f` (x) es el límite cuando delta x va a cero de 120 x + 60 delta x . Y eso es igual a 120 x . Así que tengamos eso en cuenta. Acabamos de encontrar, formalmente, que f` (x) = 120 x .

En el primer ejemplo, simplifique cancelando los 60x ^ 2 y dividiendo la parte superior e inferior por delta x.

Ahora retrocedamos algunos pasos. Así que teníamos el límite cuando delta x va a cero de (60 ( x + delta x ) ^ 2-60 x ^ 2) todo dividido por delta x . Ahora podría sacar el 60. Si saco el 60, tengo el límite cuando delta x va a cero de 60 veces esta fracción más grande. Ahora tengo el límite de una función – 60 – veces otra función – esto (( x + delta x ^ 2) – x ^ 2) / delta x . Sé que con propiedades de límites, puedo dividir esto y vencer. Puedo escribir esto como el límite cuando delta x va a cero de 60 veces el límite como delta xva a cero de este otro lío. Bueno, el límite cuando delta x llega a 60 es 60; es el límite de una constante. Entonces puedo calcular esto. Ahora, el límite cuando delta x va a cero de (( x + delta x ^ 2) – x ^ 2) todo dividido por delta x se puede encontrar primero multiplicando este término, tachando los términos y simplificando y dividiendo la parte superior y inferior por delta x . Encuentro que este límite es igual a 2 x , así que todo es, nuevamente, 120 x , que es exactamente lo que encontramos antes.

¿Qué nos dice esto? Esto dice que si tienes una función como y = Cf (x) , donde C es una constante, como 4, puedes sacar la constante. Cuando usted está encontrando Y ‘, que está tomando la derivada ( d / dx ) de toda esta cosa ( Cf (x) ), y entonces se puede sacar el C . Entonces y` = C * d / dx * f (x) . Entonces, si tiene una función, y = Cf (x) , la derivada de esa función es y` = Cf` (x) . Esta es nuestra primera regla, para constantes.

Regla de tipo distributivo de las derivadas

La derivada de y = 2x es solo 2.

Nuestra segunda regla es la regla de tipo distributivo . Veamos la función y = 2 x . Calculemos la derivada de y = 2 x : y` es igual al límite cuando delta x va a cero de (2 ( x + delta x ) – 2 x ) / delta x . Si multiplica esto, divida tanto la parte superior como la inferior por delta x , verá que esta derivada es solo 2. Muy bien. También podríamos haber encontrado que usando nuestra regla constante diciendo que y` es 2 veces la derivada ( d / dx ) de solo x , yd / dx de x es solo 1. Entonces, la derivada ( dy / dx ) es solo 2 en este caso.

La otra forma en que podrías ver esto es y = x + x . Esto sigue siendo y = 2 x , pero simplemente no lo simplifiqué, por así decirlo. Ahora quiero encontrar la derivada ( y` ) de esto. Entonces, si calculo y` es igual al límite cuando delta x va a cero de x + delta x + x + delta x (eso es f ( x + delta x )) – x + x (eso es f (x) ) todo dividido por delta x . Ahora, podría reescribir esto como ((x + delta x ) + ( x + delta x ) – x – x ) todo dividido por delta x . Si reorganizo esto solo un poco y muevo este -x aquí, entonces esto es (( x + delta x ) – x + ( x + delta x ) – x ) todo dividido por delta x . Puedo usar mis propiedades de las fracciones aquí y dividir esto en dos fracciones diferentes, ambas con el aspecto (( x + delta x ) – x ) / delta x .

¡Espera un segundo! Puedo usar otra propiedad de límites aquí. Este es el límite de una función más otra función. Entonces puedo dividir esto y conquistarlo y escribir esto como el límite de delta x que va a cero de esta primera función más el límite cuando delta x va a cero de esta otra función. Es más, reconozco nuevamente este límite. Este primer término aquí es la derivada de x ; esto es d / dx de x . Entonces, lo que esto me dice es que para la función y = x + x , y` = d / dx de x + d / dx de x. Estoy encontrando las derivadas de cada uno de estos términos. Ésta es la propiedad distributiva de las derivadas. Esto dice que cuando se suman términos, la derivada de la suma es igual a la derivada de las partes sumadas.

En el ejemplo final, este límite encerrado en un círculo es la derivada de x.

Resumen de la lección

Recapitulemos. Divide y vencerás, pero solo divide y conquistarás cuando tengas constantes, o sumas o restas. Entonces, si tienes una función, y = Cx + x ^ 2, y quieres encontrar la derivada de esto, todo lo que tienes que hacer es encontrar la derivada de este primer término, que es la constante multiplicada por la derivada de x . más la derivada del segundo término – d / dx de x ^ 2.