Ley de los cosenos: definición y aplicación

Publicado el 22 septiembre, 2020

triangulos

Triángulos: pueden ser problemáticos. ¿Triángulos amorosos? Esa es una frase que nunca se usa para describir una buena situación. ¿Y el triángulo de las Bermudas? El riesgo de desaparecer en otra dimensión estropea las increíbles vacaciones en las Bermudas.

Afortunadamente, tenemos todo tipo de excelentes herramientas para ayudarnos con triángulos en problemas matemáticos. Digamos que conocemos dos ángulos y la longitud de un lado de un triángulo. ¿Cómo encontramos el lado faltante? ¡La ley de los senos! Eso es a / sin A = b / sin B = c / sin C.

La ley de los senos es excelente para problemas que involucran dos ángulos y dos lados. Pero, ¿qué pasa con los problemas que involucran tres lados y un ángulo? ¡Hay otra ley para eso!

Ley de los cosenos

Se llama Ley de los cosenos . Antes de pensar, ‘Oye, ¿qué pasa con todas estas leyes? ¿No es eso un tipo de restricción? ¡Necesito ser libre, hombre! ‘ Espere. Esta es una de esas leyes útiles que le facilita la vida. Es como una ley que requiere que las galletas con chispas de chocolate sean sabrosas. Es lo mejor para ti, créeme.

De todos modos, la ley de los cosenos implica un triángulo como este, donde los lados están etiquetados un , b y c . Y luego tenemos un ángulo, como A aquí.

La ley establece que a 2 = b 2 + c 2 – 2 bc (cos A ). Entonces, el cuadrado de este lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el coseno del ángulo opuesto multiplicado por dos veces el producto de los otros dos lados.

Podemos modificar la fórmula para que se ajuste a cualquier ángulo que tengamos. Entonces también podría ser b 2 = a 2 + c 2 – 2 ac (cos B ) o c 2 = a 2 + b 2 – 2 ab (cos C ). Simplemente haga coincidir el ángulo y el lado correspondientes para que estén en lados opuestos de la ecuación.

¿Te parece un poco familiar? ¿Recuerda el teorema de Pitágoras? un 2 + b 2 = c 2 . Observe que la Ley de los cosenos es la misma cosa básica, simplemente agregando que -2 ab (cos C ). ¿Por qué? Porque el Teorema de Pitágoras solo funciona con triángulos rectángulos. Entonces, esta modificación explica la oblicuidad del triángulo. Un triángulo oblicuo es cualquier triángulo que no sea un triángulo rectángulo.

Pero, ¿cómo podemos recordar esto? Pues bien, el Teorema de Pitágoras implica un , b y c , ¿verdad? La ley de los cosenos es lo mismo, pero con un segundo un , b y c . Así que nuestro 2 ab (cos C ), es nuestro segundo un , b y c .

Problema de práctica n. ° 1

Vamos a practicar. Aquí hay un triángulo donde sabemos que el ángulo A mide 112 grados. Si sabemos que el lado b es 4 y el lado c es 15, ¿cuál es la longitud aproximada del lado a ?

¿Cuál es nuestra ley de los cosenos? a 2 = b 2 + c 2 – 2 bc (cos A ). Introduzcamos lo que sabemos: a 2 = 4 2 + 15 2 – 2 (4) (15) (cos112). 4 2 es 16. 15 2 es 225. Súmelos para obtener 241.

El coseno de 112 es aproximadamente -.37. 2 * 4 es 8. 8 * 15 es 120. 120 * -.37 es -44.4. Pero como se supone que debemos restar -44,4 de 241, simplemente lo sumamos. Eso nos da 285,4. Entonces a 2 = 285.4. No olvide que es un 2 , no un . Eso significa que debemos sacar la raíz cuadrada de 285,4, que es aproximadamente 17.

Verificación rápida: si el lado b es 4 y el lado c es 15, ¿tiene sentido que el lado a sea ​​17? Bueno, a es claramente el ángulo más amplio, por lo que a debería ser el lado más largo. Sí, esto parece tener sentido. ¡Así que estamos bien!

Problema de práctica n. ° 2

Probemos con otro. En este triángulo, sabemos que el lado a es 12 y el lado c es 5. También sabemos que el ángulo B es 33. ¿Cuál es la longitud aproximada del lado b ?

Recuerde, nuestra Ley de los cosenos se puede reorganizar para satisfacer nuestras necesidades. Queremos conocer el lado b , así que lo ponemos primero. b 2 = a 2 + c 2 – 2 ac (cos B ).

Ahora ingrese lo que sabemos: b 2 = 12 2 + 5 2 – 2 (12) (5) (cos33). 12 2 es 144. 5 2 es 25. Súmelos para obtener 169. El coseno de 33 es aproximadamente .84. 2 por 12 es 24. 24 por 5 es 120. 120 por 0,84 es 100,8. Restemos ahora 100,8 de 169. Es 68,2.

Entonces b 2 = 68,2. ¿La raíz cuadrada de 68,2? Son aproximadamente las 8.

Revisemos dos veces este: si c es 5 y a es 12, ¿parece que b podría ser 8? Si … totalmente. Llamemos a este hecho.

Problema de práctica n. ° 3

¿Qué tal uno más? En este, sabemos que el lado a es 14, el lado b es 12 y el lado c es 8. ¿Cuál es la medida del ángulo C ?

Este es un poco diferente. Esta vez, queremos saber un ángulo usando los tres lados. ¡Podemos hacer esto! Usemos nuestra Ley de los cosenos: c 2 = a 2 + b 2 – 2 ab (cos C ). Si conectamos lo que sabemos, obtenemos 8 2 = 14 2 + 12 2 – 2 (14) (12) (cos C ). Bueno, 8 2 es 64. 14 2 es 196. 12 2 es 144. Entonces, 196 + 144 es 340.

Restemos eso de 64 para obtener -276. Ahora, 2 por 14 es 28. Y 28 * 12 es 336.

Entonces tenemos -276 = -336 (cos C ). Dividamos por -336 para obtener cos C = aproximadamente .82. Entonces, el coseno inverso de .82 es aproximadamente 35 grados.

Podríamos usar la Ley de los cosenos para obtener los otros dos ángulos y asegurarnos de que sumen aproximadamente 180. Una forma mucho menos científica de verificar nuestras matemáticas es simplemente mirar el triángulo. ¿Parece que el ángulo C mide unos 35 grados? ¡Si!

Resumen de la lección

En resumen, la Ley de los cosenos es útil con problemas que involucran tres lados y un ángulo en triángulos oblicuos, o cualquier triángulo que no contenga un ángulo recto.

La ley de los cosenos es a 2 = b 2 + c 2 – 2 bc (cos A ). Sin embargo, podemos reorganizar la ley para que se ajuste a nuestras necesidades. Recuerde siempre que el lado del triángulo a la izquierda de la ecuación debe coincidir con el ángulo del coseno del lado derecho.

La ley de los cosenos es una variación en el teorema de Pitágoras, en el que se añade un segundo un , b y c .

Resultado de aprendizaje

Una vez que se haya estudiado esta lección, podrá escribir la Ley de los cosenos y distinguir entre esta ley y el Teorema de Pitágoras. Es posible que tenga las habilidades necesarias para usar la Ley de los cosenos para resolver triángulos con tres lados y un ángulo a medida que completa ecuaciones de práctica relacionadas.

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