Matriz Inversa: Definición, tipos y ejemplo

¿Qué es una matriz inversa?

Una matriz es simplemente una disposición de números en una cuadrícula ortogonal: filas y columnas. Las matrices se utilizan a menudo para representar polinomios, por ejemplo, sus raíces o coeficientes, pero no siempre es así. Una matriz puede contener muchos tipos de valores. Una matriz inversa depende de la matriz identidad, que a su vez depende de la definición de matriz cuadrada. Estos se tratarán más adelante en la lección: por ahora, una matriz inversa se define en relación con otra matriz cuadrada; es decir, algunas matrices cuadradas tienen inversas. Para una matriz $A$, su inversa es una matriz $A^{-1}$ tal que

$$A{A}^{-1}=I=A^{-1}A$$

donde $I$ es la matriz identidad, que se analizará en breve.

Otros tipos de matrices

Hay varias clasificaciones importantes de una matriz. En esta lección, la atención se centrará en las matrices identidad y cuadradas, sobre las cuales se construye la matriz inversa.

Matriz de identidad

Una matriz identidad es lo mismo que el elemento identidad en suma o multiplicación. Es alguna matriz $I$ tal que, para cualquier matriz $A$ (de las mismas dimensiones), se cumple lo siguiente:

$$AI=A=IA$$

En cierto modo, es como el número 1: multiplicar cualquier matriz por la matriz identidad deja la otra matriz sin cambios.

Las matrices de identidad son sencillas de construir para cualquier tamaño. Simplemente complete la diagonal (las ubicaciones con el mismo número de fila y columna) con unos y coloque ceros en el resto de los campos de la matriz. Para ser claros, el elemento superior izquierdo de la matriz se encuentra en la diagonal. Baje un campo y luego vaya un campo a la derecha, y ahora este campo está en diagonal desde el primer campo. Continúe así y así sucesivamente, hasta llegar al otro lado de la matriz. Para una matriz $2\times 2$, la matriz identidad se ve así: $\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$. La propiedad de identidad se cumple para la multiplicación correcta:

$$\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}a\cdot 1+b\cdot 0& a\cdot 0+b\cdot 1\\ c\cdot 1+d\cdot 0& c\cdot 0+d\cdot 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ cyd\end{array}\right]$$

Practica la misma prueba para la multiplicación por la izquierda.

Matriz cuadrada

Una matriz cuadrada es una matriz con el mismo número de filas y columnas.

$\left[\begin{array}{cc}6& 2\\ -5& 3\end{array}\right]$ es una matriz cuadrada. $\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 3& 5& 8\end{array}\right]$ no lo es.

Si bien la definición es simple, hay una razón importante por la cual las matrices identidad e inversa son cuadradas. Ambas definiciones dependen de la multiplicación tanto del lado derecho como del izquierdo. La multiplicación de matrices, a su vez, requiere que el número de columnas de la matriz derecha sea igual al número de filas de la otra matriz. Se deduce inmediatamente que las dos matrices deben tener la misma longitud que su ancho, es decir, que deben ser cuadradas.

Cómo hacer una matriz inversa

En el caso $2\times 2$, la respuesta es simple.

${\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]}^{-1}=\frac{1}{ad–bc}\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]$

Para encontrar la inversa de una matriz más grande, el primer paso es “aumentarla” con la matriz identidad. Amplíe la matriz $n\times n$ agregando $n$ columnas adicionales en el lado derecho y complete estos nuevos campos con una matriz de identidad. Luego, modifique filas individuales hasta que los valores originales se conviertan en la matriz de identidad; la nueva matriz del lado derecho es la inversa. Cada modificación se realiza sumando una fila a otra, sumando el múltiplo de una fila a otra o simplemente multiplicando una fila por una constante.

Antes de pasar a algunos ejemplos, intente calcular la inversa de la siguiente matriz:

$$\begin{gathered} {\left[\begin{array}{c}3y-2\\ -6y4\end{array}\right]}^{-1}=\frac{1}{(3)(4)–(-2)(-6)}\left[\begin{array}{cc}4& -(-2)\\ -(-6)& 3\end{array}\right] \\ =\frac{1}{12–12}\left[\begin{array}{cc}4& -2\\ -6y3\end{array}\right] \\ =\frac{1}{0}\left[\begin{array}{c}4y-2\\ -6y3\end{array}\right] \end{gathered}$$

Sin embargo, hay un problema: ¡esta fracción intenta dividirse por cero! La conclusión importante es que la inversa de una matriz no necesariamente existe. Si una matriz no tiene inversa se dice que es no invertible. Nuevamente, ¡no todas las matrices tienen una inversa!

Ejemplos de matrices inversas

Siga el proceso paso a paso para producir una matriz inversa.

$$\text{begin{bmatrix} 1 y 0 y 0 12 y 1 y 2 6 y 0 y 1 end{bmatrix} to begin{bmatrix} 1 y 0 y 0 \& | \& 1 \& 0 \& 0 12 \& 1 \& 2 \& | \& 0 \& 1 \& 0 6 \& 0 \& 1 \& | \& 0 \& 0 \& 1 end{bmatriz}}$$

Tenga en cuenta que el 12 en la segunda fila es el doble del 6 en la misma columna justo debajo, ¡y lo mismo con el 2! Así, multiplica la tercera fila por 2 y resta el resultado de la segunda fila.

$$\text{begin{bmatrix} 1 y 0 y 0 y | \& 1 \& 0 \& 0 12 – 12 \& 1 – 0 \& 2 – 2 \& | \& 0 – 0 \& 1 – 0 \& 0 – 2 6 \& 0 \& 1 \& | \& 0 \& 0 \& 1 end{bmatrix} = begin{bmatrix} 1 \& 0 \& 0 \& | \& 1 \& 0 \& 0 0 \& 1 \& 0 \& | \& 0 \& 1 \& -2 6 \& 0 \& 1 \& | \& 0 \& 0 \& 1 end{bmatriz}}$$

Todavía hay 6 superfluos en la tercera fila, pero simplemente suma -6 veces la primera fila y desaparece.

$$\text{begin{bmatrix} 1 y 0 y 0 y | \& 1 \& 0 \& 0 0 \& 1 \& 0 \& | \& 0 \& 1 \& -2 6 – 6 \& 0 – 0 \& 1 – 0 \& | \& 0 – 6 \& 0 – 0 \& 1 – 0 end{bmatrix} = begin{bmatrix} 1 \& 0 \& 0 \& | \& 1 \& 0 \& 0 0 \& 1 \& 0 \& | \& 0 \& 1 \& -2 0 \& 0 \& 1 \& | \& -6 \& 0 \& 1 end{bmatriz}}$$

Se ha encontrado lo contrario; es

$$\left[\begin{array}{c}1y0y0\\ 0y1y-2\\ -6y0y1\end{array}\right]$$. Ahora, veamos un ejemplo más difícil.

$$\text{begin{bmatrix} 2 y 4 y 6 y | \& 1 \& 0 \& 0 0 \& 2 \& 8 \& | \& 0 \& 1 \& 0 10 \& 12 \& 0 \& | \& 0 \& 0 \& 1 end{bmatriz}}$$

Comience con la tercera fila. Intenta restar cinco veces la primera fila, luego usa la segunda fila para eliminar el número del medio.

$$\text{begin{bmatrix} 2 y 4 y 6 y | \& 1 \& 0 \& 0 0 \& 2 \& 8 \& | \& 0 \& 1 \& 0 10 – 10 \& 12 – 20 \& 0 – 30 \& | \& 0 – 5 \& 0 – 0 \& 1 – 0 end{bmatrix} = begin{bmatrix} 2 \& 4 \& 6 \& | \& 1 \& 0 \& 0 0 \& 2 \& 8 \& | \& 0 \& 1 \& 0 0 \& -8 \& -30 \& | \& -5 \& 0 \& 1 end{bmatrix} begin{bmatrix} 2 \& 4 \& 6 \& | \& 1 \& 0 \& 0 0 \& 2 \& 8 \& | \& 0 \& 1 \& 0 0 + 0 \& -8 + 8 \& -30 + 32 \& | \& -5 + 0 \& 0 + 4 \& 1 + 0 end{bmatrix} = begin{bmatrix} 2 \& 4 \& 6 \& | \& 1 \& 0 \& 0 0 \& 2 \& 8 \& | \& 0 \& 1 \& 0 0 \& 0 \& 2 \& | \& -5 \& 4 \& 1 end{bmatriz}}$$

Eliminemos el segundo número de la primera fila usando la segunda fila.

$$\text{begin{bmatrix} 2 – 0 y 4 – 4 y 6 – 16 y | \& 1 – 0 \& 0 – 2 \& 0 – 0 0 \& 2 \& 8 \& | \& 0 \& 1 \& 0 0 \& 0 \& 2 \& | \& -5 \& 4 \& 1 end{bmatrix} = begin{bmatrix} 2 \& 0 \& -10 \& | \& 1 \& -2 \& 0 0 \& 2 \& 8 \& | \& 0 \& 1 \& 0 0 \& 0 \& 2 \& | \& -5 \& 4 \& 1 end{bmatriz}}$$

Los terceros números de la primera y segunda fila se pueden eliminar sumando múltiplos de la tercera fila.

$$\text{begin{bmatrix} 2 + 0 \& 0 + 0 \& -10 + 10 \& | \& 1 – 25 \& -2 + 20 \& 0 + 5 0 – 0 \& 2 – 0 \& 8 – 8 \& | \& 0 + 20 \& 1 – 16 \& 0 – 4 0 \& 0 \& 2 \& | \& -5 \& 4 \& 1 end{bmatrix} = begin{bmatrix} 2 \& 0 \& 0 \& | \& -24 \& 18 \& 5 0 \& 2 \& 0 \& | \& 20 \& -15 \& -4 0 \& 0 \& 2 \& | \& -5 \& 4 \& 1 end{bmatriz}}$$

Por último, la diagonal debe tener sólo unos. En este caso, esto se puede lograr simplemente dividiendo cada fila entre 2.

$$\left[\begin{array}{cccc}1y0y0y|& -12& 9& \frac{5}{2}\\ 0& 1& 0& |& 10& \frac{-15}{2}& -2\\ 0& 0& 1& |& \frac{-5}{2}& 2& \frac{1}{2}\end{array}\right]$$

Por último, volvamos al caso simple: encuentre la inversa de $\left[\begin{array}{cc}2& 2\\ 4& 5\end{array}\right]$. Simplemente usa la fórmula.

$$\text{frac{1}{(2)(5) – (2)(4)} begin{bmatrix} 5 \& -2 -4 \& 2 end{bmatrix} = frac{1}{10 – 8} begin{bmatrix} 5 y -2 -4 y 2 end{bmatrix} = frac{1}{2} begin{bmatrix} 5 y -2 -4 y 2 end{ bmatriz} = begin{bmatrix} frac{5}{2} \& -1 -2 \& 1 end{bmatrix}}$$

Resumen de la lección

Una matriz es simplemente una disposición de números en un rectángulo con operaciones bien definidas. En particular, la matriz inversa siempre está relacionada con otra matriz, y al multiplicar las dos se obtiene la matriz identidad. Esta es una matriz especial que tiene unos a lo largo de la diagonal, los campos donde el número de fila y columna son iguales, y ceros en el resto. Para que estas definiciones tengan sentido, se requiere que tanto la matriz identidad como la inversa sean matrices cuadradas, es decir, matrices con el mismo número de filas y columnas. Es posible encontrar la inversa de una matriz aumentándola con una matriz identidad en el lado derecho y usando operaciones de fila en esta matriz aumentada para reducir los valores originales a una matriz identidad; la matriz inversa entonces estará en el lado derecho, donde antes estaba la matriz de identidad. Para una matriz $2\times 2$, el proceso es mucho más simple: simplemente use la fórmula ${\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]}^{-1}=\frac{1}{ad–bc}\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]$. No siempre es posible encontrar una inversa; en tales casos, la matriz original se llama no invertible. No tiene inversa.