Medio ángulo: fórmulas y pruebas

Medios ángulos: una analogía musical

En la música está la nota completa . La nota completa define la duración de todas las demás notas. Es decir, la nota media dura la mitad que la nota completa. Y la mitad de una nota media es una negra ; y así. Es una formulación basada en la nota completa. En el mundo de los ángulos, tenemos fórmulas de medio ángulo . Estas fórmulas se basan en el ángulo completo. Sin embargo, el desarrollo de estas fórmulas implica más que simplemente dividir por 2. En esta lección, mostramos cómo usar los teoremas matemáticos para obtener algunas de estas fórmulas de medio ángulo . Aquí están las fórmulas que cubriremos:

Repaso de algunas ideas fundamentales

Describimos un ángulo como la rotación de una línea horizontal articulada en un punto de pivote.

Girando la línea en sentido antihorario 30 o ,

Siguiendo girando, pasamos por ángulos de 45o , 60o y 90o .

A menudo usamos la letra griega θ para el ángulo.

Un ángulo de θ = 90 o se llama ángulo recto . Un pequeño cuadrado en el diagrama indica el ángulo recto.

Imagina rotar la línea más allá de θ = 90 o hasta que estemos alineados con la línea original.

El ángulo suplementario es la cantidad de rotación agregada a θ para que el ángulo sea de 180 o .

En la siguiente figura, β es el ángulo suplementario. Tenga en cuenta que β = 180 o – θ.

El ángulo subtendido por define los límites de la rotación del ángulo. Nos dice los lugares de inicio y finalización de la rotación del ángulo.

Teorema 1 : El ángulo subtendido por una línea recta es 180 o .

Un triángulo es una figura cerrada de tres lados con 3 ángulos interiores.

Teorema 2 : La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180 o .

Un triángulo rectángulo es un triángulo donde uno de los 3 ángulos interiores mide 90 o . El lado opuesto al ángulo recto es el más largo de los 3 lados y se llama hipotenusa .

Construyamos un triángulo rectángulo cuya hipotenusa sea igual a 1.

Un triángulo isósceles es un triángulo con 2 lados iguales.

En este triángulo isósceles, lado 1 = lado 2. El ángulo opuesto al lado 1 es θ 1 . El ángulo opuesto al lado 2 es θ 2 . En el triángulo isósceles, θ 1 = θ 2 .

Teorema 3 : Los ángulos interiores opuestos a los lados iguales de un triángulo isósceles son iguales.

Incluyendo un triángulo isósceles, nuestra figura parece

Del teorema 3, dos de los ángulos interiores son iguales. Estos ángulos se han etiquetado como α. Nos gustaría mostrar que α = θ / 2.

Del teorema 2, 180 o = β + α + α = β + 2α.

Del teorema 1, β = 180 o – θ.

Por lo tanto, 180 o = β + 2α = 180 o – θ + 2α.

Resolviendo para α, α = θ / 2.

Incluya esta información de ángulo y etiquete los lados.

El diagrama para desarrollar nuestras ecuaciones.

Nombrar las proporciones de los lados

En un triángulo rectángulo, las proporciones de los lados tienen nombres especiales.

Seno , coseno y tangente se abrevian como sin , cos y tan . Son una función del ángulo subtendido por los lados definitorios.

En nuestro diagrama, sin θ = y / 1 = y y cos θ = x / 1 = x .

Ahora estamos listos para nuestras fórmulas de medio ángulo.

Desarrollo de una fórmula de medio ángulo para tangente, seno y coseno

Del diagrama,

En la sustitución de x y y

Nuestra primera fórmula de medio ángulo es

¿Recuerdas esa analogía de la nota completa de la música? Quizás veamos una división entre dos en algunas de las otras ecuaciones a medida que continuamos desarrollando estas fórmulas usando teoremas.

Teorema 4 : El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados de un triángulo rectángulo. ( Teorema de Pitágoras )

En nuestro diagrama, z es la hipotenusa del triángulo de lados y y 1 + x .

Según el teorema 4,

Teorema 5 : sin 2 θ + cos 2 θ = 1

En la sustitución de x y y y usando el teorema 5,

Ahora desarrollamos la fórmula para el pecado θ / 2:

Para simplificar, multiplica el numerador y el denominador por

Esto da

Dado que la raíz cuadrada puede ser positiva o negativa, nuestra segunda fórmula de medio ángulo se convierte en

¡Oye, aparece una división por dos en esta fórmula!

Para cos θ / 2,

Esto se puede escribir como

y nuestra tercera fórmula de medio ángulo es

Obtener otras fórmulas para la tangente

Señalando que

escribir

Sustitución y simplificación,

La otra forma para tan θ / 2 se encuentra manipulando algebraicamente

Multiplica numerador y denominador por 1 – cos θ y simplifica

dándonos

Referencias

Roger B. Nelsen, Pruebas sin palabras: Ejercicios de pensamiento visual , The Mathematical Association of America ISBN 0-88385-700-6, 1993.

Resumen de la lección

Las fórmulas de medio ángulo nos permiten encontrar funciones trigonométricas comunes del ángulo θ / 2 en términos de θ. Las fórmulas son concisas, aunque más complicadas que simplemente dividir un ángulo completo por dos. En esta lección, usamos teoremas para desarrollar fórmulas de medio ángulo para seno , coseno y tangente .