Método de caparazón: fórmula y ejemplos

Publicado el 24 noviembre, 2020

La fórmula del método Shell

Suponga que desea calcular el volumen de un sólido de revolución , es decir, un sólido formado al barrer una región bidimensional alrededor de un eje, como puede ver en la imagen de su pantalla en este momento.


Sólido de revolución formado al girar una región R alrededor del eje y.
Sólido de revolución

Es posible que ya haya estudiado un método para encontrar el volumen, el método de disco / arandela, en el que el sólido se corta en discos delgados o arandelas (discos con un agujero en el medio). Sin embargo, el volumen de algunos sólidos de revolución es difícil o incluso imposible de calcular utilizando el método de disco / arandela. Afortunadamente, tenemos otra forma de abordar el problema (literalmente).

Cualquier sólido de revolución se puede cortar en delgadas carcasas cilíndricas que encajan perfectamente entre sí. Luego, el volumen de cada capa se puede calcular y sumar para obtener el volumen de todo el sólido. Primero, veamos cómo se ve la fórmula, que es:

Fórmula del método Shell

Ahora nos tomaremos un tiempo para entender cómo se arma.

Entendiendo la Fórmula

Analicemos la fórmula que acabamos de ver en la sección anterior de esta lección. El método de la cáscara se basa en una fórmula geométrica sencilla. Una cáscara cilíndrica muy delgada puede aproximarse a un sólido rectangular muy delgado. ¿Cómo? Un caparazón es como la parte curva de una lata de aluminio. Si corta la cáscara y la desenrolla para que quede plana, el resultado parece un rectángulo. Si la carcasa cilíndrica tiene un radio r y una altura h , entonces la carcasa desenrollada es un rectángulo de longitud 2 π r (es decir, la circunferencia del cilindro) y ancho h . Pero también tiene una tercera dimensión. Tan delgada como parece la cáscara, todavía tiene un grosor distinto de cero; lo llamamos dr. Después de desenrollar la concha, el resultado es, de hecho, un prisma rectangular cuya altura (grosor) también es dr . Por lo tanto, el volumen de la cáscara se aproxima por el volumen del prisma, que es L x W x H = (2 π r ) x h x dr = 2π rh dr .


Se muestra una carcasa cilíndrica en el sólido.
Cáscara cilíndrica

Finalmente, la fórmula del método de caparazón se obtiene sumando todos estos volúmenes de caparazón y permitiendo que dr se vuelva infinitesimalmente pequeño. El límite inferior para la integración ( a ) es el valor x (o y ) más pequeño en el que comienza el corte, y el límite superior ( b ) es el valor x (o y ) más grande en el que termina el corte.

La forma exacta de la fórmula del método del caparazón depende de si el eje de rotación del sólido es vertical u horizontal. Si es vertical, entonces dr = dx y tanto r como h deben expresarse en términos de x . Si es horizontal, entonces dr = dy y tanto r como h deben expresarse en términos de y . En el caso más simple, si el eje de revolución es el eje y , y la región está limitada por una función y = f ( x ) por encima del eje x , entonces tomamos r = x y h =f ( x ). De manera similar, si el eje de revolución es el eje x , y la región está limitada por una función x = f ( y ) a la derecha del eje, entonces tomamos r = y y h = f ( y ).

Fórmulas para el método de la carcasa basadas en el eje de revolución

Usando el método Shell

Repasemos algunos ejemplos que involucran el uso del método shell.

Ejemplo 1

Encuentre el volumen del sólido de revolución formado al girar la región R alrededor del eje y , donde R es la región limitada por y = – x ^ 2 + 6 x – 5 y el eje x .

Ayuda a graficar la región en el plano primero. Por el ajuste y = 0, nos encontramos con los dos x -intercepts (estos serán una y b en la integral). x ^ 2 + 6 x – 5 = – ( x ^ 2-6 x + 5) = – ( x – 1) ( x – 5) = 0 cuando x = 1 y 5.


Ejemplo 1: Región R debajo de la curva dada y por encima del eje x.
Región R debajo de la curva dada y por encima del eje x.

Configure la fórmula del método shell y resuelva. Como puedes ver:

Ejemplo 1, resuelto

Por lo tanto, 64 π es nuestra respuesta.

Ejemplo 2

Encuentre el volumen del sólido de revolución que se muestra en la imagen del Ejemplo 2 que puede ver en su pantalla ahora mismo.


Ejemplo 2: Sólido de revolución.
Sólido de revolución por ejemplo 2

Esta vez, el sólido se obtiene rotando una región alrededor del eje x , por lo que el método de la capa nos obliga a poner todo en términos de y . El radio es r = y , pero la altura no es simplemente f . En cambio, la altura se calcula tomando la diferencia entre el límite de la derecha x = 1 y el límite de la izquierda, x = sin y . Por lo tanto, el integrando será 2π rh = 2π y (1 – sin y ), como puede ver en la ecuación en su pantalla.

Ejemplo 2 funcionó

Resumen de la lección

Recapitulemos muy brevemente lo que hemos aprendido. En esta lección, aprendimos cómo calcular un sólido de revolución ; es decir, un sólido formado barriendo una región bidimensional alrededor de un eje. El volumen de un sólido de revolución se puede encontrar usando el método de caparazón de:

Fórmula del método Shell

Se utilizan dos casos simples para encontrar este volumen: una región delimitada por una curva f ( x ) y el eje x , rotada alrededor del eje y , o una región delimitada por una curva f ( y ) y el eje y , girado alrededor del eje x , que puede ver en las fórmulas que han estado en su pantalla.

Fórmulas para el método de la carcasa basadas en el eje de revolución

Ahora debería saber cómo calcular un sólido de revolución cada vez que aparece en una prueba.

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