Momento Angular: Definición, fórmula y ejemplos

¿Qué es el momento angular?

El momento es una propiedad de un objeto en movimiento y, en un sentido general, se puede considerar como la “fuerza” que tendrá un objeto en movimiento en una colisión, o el esfuerzo que se necesita para detenerlo. En el movimiento lineal, el impulso ( p ) es el producto de la masa y la velocidad de un objeto.

$$p=mv $$

El momento angular es un análogo directo del momento lineal, por lo que significa lo mismo en general y tiene las mismas consecuencias para los objetos en movimiento. Pero en el movimiento angular, donde un objeto recorre una trayectoria circular o elíptica alrededor de un punto, las cosas son un poco más complicadas. Para una sola partícula en rotación, el momento angular depende no sólo de la masa y la velocidad sino también de la distancia desde el punto de rotación. Cuando un objeto completo gira, se puede considerar como una colección de muchos puntos, todos los cuales giran alrededor del mismo punto. Esta cantidad, que representa las distintas masas y distancias en un cuerpo rígido, se llama momento de inercia ( I ).

Fórmula del momento angular

El momento angular se define como el producto del momento de inercia de un objeto y su velocidad angular. La fórmula del momento angular es:

$$L = Yo $$

Dónde

• L = momento angular ({eq}kg\cdot m^2/s {/eq})
• I = momento de inercia ({eq}kg\cdot m^2 {/eq})
• w = velocidad angular ({eq}s^{-1} {/eq})

El momento angular es una cantidad vectorial, por lo que tiene una dirección. La regla de la mano derecha puede mostrar esa dirección. La regla de la mano derecha se puede usar tomando la mano derecha, apuntando con el dedo índice hacia adelante, el pulgar hacia arriba y el dedo medio doblado completamente en el primer nudillo, pero por lo demás recto (de modo que apunte directamente hacia la izquierda). Los dedos de esa mano ahora son perpendiculares entre sí y se asemejan a los ejes x, y y z en tres dimensiones. Para una partícula en rotación, el dedo medio apunta directamente al centro y el dedo índice apuntará en la dirección del movimiento (que es tangente al círculo de movimiento). Por tanto, el momento angular está en la dirección del pulgar. Otra forma de hacer esto es doblar los dedos alrededor del eje de rotación en la dirección de rotación y sacar el pulgar. Para una mano derecha, la rotación en el sentido contrario a las agujas del reloj hará que el pulgar apunte hacia arriba, mientras que la rotación en el sentido de las agujas del reloj lo hará apuntar hacia abajo. De cualquier manera, el momento angular es perpendicular a la dirección del movimiento.

¿Por qué el momento angular y la dirección del movimiento apuntan en direcciones diferentes? Podría parecer que deberían ir en la misma dirección, pero un objeto en rotación en realidad no se mueve a ninguna parte. No tiene movimiento en la dirección x o y. Si un objeto gira una vez, el desplazamiento de todas sus partículas es cero porque terminaron donde comenzaron; considerando eso, ¿en qué dirección debe apuntar el momento angular? En cualquier caso, la dirección del momento angular es perpendicular al plano de rotación. El impulso angular hace que los giroscopios funcionen y explica por qué una peonza se mantiene en su punta pero se cae una vez que desacelera.

Momento de inercia y velocidad angular

El momento de inercia es el análogo de la inercia en el movimiento lineal y es el análogo de la masa en la fórmula del momento. Es esencialmente la Primera Ley de Newton aplicada a la rotación y describe la resistencia de un objeto al cambio de rotación. Depende de la distancia de un objeto al centro de rotación, pero un objeto en rotación completo está formado por muchas partículas individuales a muchas distancias diferentes. Entonces, el momento de inercia de un objeto será la suma de inercia de todas las partículas individuales.

La velocidad angular es el análogo rotacional de la velocidad lineal. Tenga en cuenta que la velocidad a lo largo de una trayectoria curva se puede encontrar y medir como velocidad lineal. La circunferencia de un círculo tiene una longitud, por lo que un objeto a su alrededor puede viajar en metros por segundo. La velocidad angular, sin embargo, describe qué tan rápido se mueve un objeto alrededor de cualquier círculo. Se mide en radianes por segundo, por lo que un objeto que se mueve a {eq}2\pi {/eq} radianes por segundo recorrerá cualquier círculo en un segundo. Esto es importante para objetos en rotación porque cada partícula en un objeto tiene su propio círculo de rotación con su propio radio. Todos sus movimientos se pueden describir al mismo tiempo con velocidad angular. La velocidad angular se puede relacionar con la velocidad lineal con esta fórmula

$$w = \frac{v}{r} $$

Fórmula de inercia angular

El momento de inercia, también llamado inercia angular, se encuentra sumando todos los momentos de inercia de las partículas individuales de cada objeto. El momento de inercia se encuentra multiplicando la masa de un objeto por el cuadrado del radio de su rotación.

$$yo = señor^2 $$

Luego se suman para completar la fórmula de inercia angular:

$$Yo = \sum_{i=1}^{n}m_ir_i^2 $$

Dónde

• I = I = momento de inercia ({eq}kg\cdot m^2 {/eq})

• metro = masa (kg)
• r = brazo de palanca, o distancia desde el centro de rotación (m)

Gráfico de momento de inercia

Los momentos de inercia para muchas formas comunes ya se han calculado y se pueden buscar en libros o tablas que tengan una tabla de momentos de inercia. Para estos objetos, el eje de rotación también es su eje de simetría a menos que se especifique.

• I = Momento de inercia
• M = Masa total del objeto
• R = distancia desde el borde exterior del objeto hasta el eje de rotación
• l = longitud total del objeto

Partícula única: {eq}I = MR^2 {/eq}

Varilla delgada: {eq}I = \frac{1}{12}Ml^2 {/eq}

Varilla delgada (que gira alrededor de un extremo): {eq}I = \frac{1}{3}Ml^2 {/eq}

Esfera sólida: {eq}I = \frac{2}{5}MR^2 {/eq}

Esfera hueca (cáscara delgada): {eq}I = \frac{2}{3}MR^2 {/eq}

Placa rectangular (mesa): {eq}I = \frac{1}{12}M(l_1^2+ l_2^2) {/eq}

Ejemplos de momento angular

Los siguientes son algunos ejemplos de momento angular para explorar cómo calcular y encontrar el momento angular.

Ejemplo 1: Trini, el prodigio del baloncesto, domina el arte de hacer girar una pelota en su dedo. A máxima velocidad, la pelota da 10 vueltas en un segundo. Su pelota favorita tiene una masa de 0,575 kg y un radio de 0,120 metros. ¿Cuál es el momento angular de la pelota?

Primero, los espines deben convertirse a radianes. 1 giro = 1 revolución. Una pelota de baloncesto es una esfera hueca con una cáscara delgada.

w = {eq}(10 \:rev/s)(2\pi\:rad/rev) = 20\pi\: rad/s {/eq}

M = 0,575 kilogramos

R = 0,120 m

$$I = \frac{2}{3}(.575\:kg)(.120\:m)^2 =.00552\: kg\cdot m^2 $$

$$L = (.00552\: kg\cdot m^2)(20\pi \: rad/s) $$

$$L \aprox.347 $$

Ejemplo 2: Franklin está haciendo girar un bastón para una exhibición de artes marciales. Sostiene la vara de 5 kg en el centro y la hace girar en círculo, y la vara alcanza un momento angular de {eq}31 \:kg\cdot m^2/s {/eq}. Si Franklin hace girar el bastón 7 veces por segundo, ¿cuánto mide el bastón?

Hay que convertir los giros por segundo a radianes por segundo, y la forma del bastón es una varilla delgada.

w = {eq}7\: rev/s = 14\pi rad/s {/eq}

M = 5 kilos

l =?

L = {eq}31 \:kg\cdot m^2/s {/eq}

La incógnita está en medio del valor del momento de inercia.

$$31 \:kg\cdot m^2/s = (\frac{1}{12})(5\: kg)(l)^2(14\pi \:rad/s) $$

$$l^2 = \frac{31 \:kg\cdot m^2/s}{(\frac{1}{12})(5\: kg)(14\pi \:rad/s)} $ $

$$l \aprox 1.3\: m $$

Resumen de la lección

Un objeto en movimiento tiene impulso, que es una cualidad relacionada con su masa y velocidad. El impulso es la fuerza con la que algo golpea cuando choca o lo difícil que es frenar algo. Por ejemplo, un tren fuera de control tiene mucho impulso, mientras que una semilla de diente de león flotante tiene muy poco. Un objeto que está girando tiene momento angular. Esto es esencialmente lo mismo que el momento lineal, pero también está relacionado con la distancia desde el objeto al centro de su rotación.

$$L = Yo $$

Dónde

• L = momento angular ({eq}kg\cdot m^2/s {/eq})
• I = momento de inercia ({eq}kg\cdot m^2 {/eq})
• w = velocidad angular ({eq}s^{-1} {/eq})

El momento de inercia de una sola partícula es el producto de su masa por el cuadrado de su radio (distancia al centro de rotación). Es el análogo rotacional de la inercia y ocupa el lugar de la masa en la ecuación del momento angular. Sin embargo, un objeto completo está formado por muchas partículas que giran todas juntas. Los momentos de inercia individuales se pueden sumar para obtener el valor del objeto. Sin embargo, esto puede ser difícil y generalmente se utiliza el cálculo para resolverlo. Los momentos de inercia de varias formas variarán y se pueden buscar los valores de muchas formas comunes. En general, la fórmula del momento de inercia es

$$Yo = \sum_{i=1}^{n}m_ir_i^2 $$

Dónde

• I = momento de inercia ({eq}kg\cdot m^2 {/eq})

• metro = masa (kg)
• r = brazo de palanca, o distancia desde el centro de rotación (m)