Multiplicar binomios usando FOIL y el método del área: Problemas de práctica

Multiplicar binomios

Algo así como aprender las tablas de multiplicar, multiplicar binomios es una de esas habilidades que pueden comenzar lentamente, pero con un poco de práctica se vuelven realmente rápidas y fáciles. ¡Esta lección está aquí para ayudarlo a pasar de ser lento e inseguro a rápido y seguro!

Debido a que hay tantas formas diferentes de multiplicar dos binomios, resolveremos cada problema en esta lección de dos maneras. No explicaré las dos formas palabra por palabra en cada problema, pero tendremos ambas formas en la pantalla a la vez para que pueda elegir cuál de ellas le gusta más y también ver cómo son básicamente lo mismo. . Siéntete libre de pausar la lección cuando presente un problema y pruébalo por tu cuenta antes de verme hacerlo. De esa manera, puede concentrarse en el error específico que comete o omitir rápidamente el problema si lo hizo bien.

Ejemplo 1

Comencemos con uno bastante básico.

Multiplicar ( x + 6) ( x – 6)

Usaremos el método FOIL en el lado izquierdo de la pantalla y el método del área a la derecha. Recuerde que ambos son simplemente procedimientos que le ayudan a recordar los cuatro problemas de mini multiplicación en los que se dividirán estos ejemplos. FOIL usa un acrónimo para ayudarte a recordar qué cosas multiplicar, mientras que el método del área usa un gráfico para hacer lo mismo. FOIL es un poco más rápido, pero también más fácil de cometer errores, mientras que el método del área lleva un poco más de tiempo porque necesita dibujar el gráfico, pero es mucho mejor para evitar errores tontos.

Debido a que los números no son tan malos en este, seguiré adelante y usaré FOIL. Eso significa que empiezo multiplicando los primeros términos, x y x , para obtener x 2 .

Luego hacemos los términos externos , x y -6, para obtener -6 x .

Los términos internos , 6 y x , nos dan 6 x .

Y finalmente tenemos los últimos términos, 6 y -6, dejándonos con un -36 al final.

x 2 – 6 x + 6 x – 36

Usando los dos métodos de multiplicación para resolver el problema

Básicamente ya hemos terminado, pero nos gustaría simplificar nuestra respuesta combinando términos semejantes. Tengo dos grupos de x s aquí, y cuando hacemos -6 x + 6 x , en realidad se cancelarán entre sí, dejando nuestra respuesta simplemente:

x 2 – 36

Ahora, en realidad hay un atajo para responder a problemas como este en el que se multiplican dos conjugados . Dos binomios son conjugados si tienen los mismos dos términos pero signos opuestos en el segundo como ( a + b ) y ( a – b ). Cada vez que multipliquemos dos conjugados, los dos términos intermedios desaparecerán, como vimos, dándonos el atajo:

( a + b ) ( a – b ) = a 2 – b 2

Ejemplo # 2

Pasemos a otro ejemplo:

Multiplicar (2 x + 5) 2

Traigo este ejemplo por una razón importante: es bueno saber que este problema debe resolverse como los demás en este video, aunque no lo parezca. Si no es consciente de esto, puede ser muy fácil cometer este simple error:

2 x 2 + 5 2

¡No se permite distribuir el exponente de esta manera! Esta es la razón. Cuadrar algo significa multiplicarlo por sí mismo. Eso significa tomar 2 x + 5 y multiplicarlo por 2 x + 5. ¡Ajá! ¡Dos binomios! Si comete el error de distribuir el exponente, solo está haciendo el primer y último paso de FOIL y omitiendo los dos del medio, ¡no es bueno!

Pero ahora que sabemos cómo se debe hacer, hagámoslo de la manera correcta muy rápido. Usaré el método del área para este solo para mezclarlo un poco. Debido a que estamos multiplicando dos binomios, dibujamos nuestra tabla con dos segmentos en cada lado, formando cuatro cajas en el interior. Ahora etiqueto cada lado con uno de los binomios, cada término tiene su propio segmento del lado, así.

Ahora miramos hacia arriba y hacia el otro lado para decidir qué multiplicar para cada cuadro. Hacerlo nos da esto:

4 x 2 + 10 x + 10 x + 25

y ahora podemos combinar términos semejantes para terminar con nuestra respuesta:

4 x 2 + 20 x + 25

Ejemplo # 3

Nuestro último ejemplo se desviará un poco del título. Podría llamarlo una pregunta de crédito adicional: una vista previa de un concepto futuro. La razón por la que hago esto es para mostrarte que las habilidades que estamos dominando ahora pueden ayudarte a hacer más que multiplicar binomios.

Tome ( x – 1) ( x 2 + 5 x + 3) por ejemplo. Estos no son dos binomios, este es un binomio multiplicado por un trinomio. Si bien el acrónimo FOIL ya no se aplica del todo, sigue siendo la misma idea y el modelo de área aún funciona muy bien.

Esta vez, sin embargo, en lugar de hacer que nuestro gráfico tenga dos segmentos en cada lado, haremos un gráfico rectangular con dos segmentos en un lado y tres en el otro. El ( x – 1) va al lado con dos segmentos, mientras que ( x 2 + 5 x + 3) va al lado con tres. ¡Y estamos listos para empezar!

Simplemente miramos hacia arriba y hacia el otro lado para decidir qué multiplicar para cada cuadro, completamos el cuadro completo y combinamos términos semejantes. ¡Justo como antes!

x 3 + 5 x 2 – x 2 + 3 x – 5 x – 3 =

x 3 + 4 x 2 – 2 x – 3

Método de área y otros polinomios

¿Necesitas multiplicar dos trinomios ? ¡Haz tu gráfico de tres en tres! ¿Un polinomio con cinco términos multiplicado por uno con seis? ¡Un gráfico de cinco por seis! El método del área te ayudará a multiplicar dos polinomios cualesquiera que sean, sin importar su tamaño. Con suerte, ahora estás empezando a sentirte como un profesional polinomial.

Resumen de la lección

Revisemos. Los conjugados son binomios que tienen los mismos términos, solo se ha cambiado el signo en el segundo. Cuando los multiplicas, terminas con el cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo: ( a + b ) ( a – b ) = a 2 – b 2 .

Cuando eleve al cuadrado un binomio, recuerde no distribuir el cuadrado a los dos términos y en su lugar reescriba otro binomio al lado del primero y lo FOIL: ( a + b ) 2 = ( a + b ) ( a + b ).

El modelo de área se puede usar para multiplicar dos polinomios cualesquiera, no solo binomios. Simplemente haga que su gráfico tenga dimensiones iguales a la cantidad de términos en cada polinomio.