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Nicolas Bourbaki: Historia, Obras y Legado

Publicado el 1 febrero, 2024

¿Qué es el Grupo Bourbaki?

Nicolas Bourbaki es un seudónimo de un grupo de matemáticos franceses que publicaron colectivamente. El grupo se originó a partir de un conjunto de jóvenes profesores que se rebelaron contra el enfoque pedagógico después de la Primera Guerra Mundial. Tanto el material que tenían para enseñar como la forma de enseñar estaban obsoletos, lo que provocó que Francia se quedara rezagada con respecto a otras naciones, especialmente Alemania, en el desarrollo de jóvenes matemáticos. Formaron el “Comité para el Tratado de Análisis”, que pretendía escribir un nuevo libro de texto para enseñar cálculo que luego usarían en los cursos universitarios de nivel introductorio, brindando a los estudiantes una comprensión más moderna.

El grupo Bourbaki inicial, que incluía a Henri Cartan, Claude Chevalley, Jean Coulomb, Jean Delsarte, Jean Dieudonné, Paul Dubreil, Charles Ehresmann, Jean Leray, Szolem Mandelbrojt, René de Possel y André Weil, era un círculo de viejos amigos que en su mayoría Estudió en la misma universidad, la École Normale Supérieure. Entre los estudiantes de matemáticas de allí existía desde hacía mucho tiempo una cultura de las bromas. Una broma memorable se centró en un estudiante de clase alta que se hacía pasar por profesor y daba una conferencia falsa a estudiantes más jóvenes, discutiendo teoremas falsos que se atribuían a generales franceses muertos. El último y más absurdo de ellos fue “el teorema de Bourbaki”, y el recuerdo de este chiste llevó al colectivo a adoptar Bourbaki como su seudónimo en honor a su origen colectivo y al espíritu de alegría que impregnaría su relación. Finalmente se añadió el primer nombre Nicolas para crear una figura ficticia que reclamara la autoría de su trabajo colectivo.

Para mantener su ventaja antiautoritaria, aquellos que cumplieran 30 años se marcharían y nuevos matemáticos más jóvenes ocuparían su lugar. Además del grupo de escritura, generó un grupo más grande, el ‘Séminare Bourbaki, que es una reunión de matemáticos sobre temas de vanguardia en el campo, incluidos miembros y no miembros de Bourbaki.

Historia de Nicolás Bourbaki

El lema de Francia Liberté, égalité, fraternité, especialmente igualdad, dio forma a las decisiones militares durante la Primera Guerra Mundial. Otras naciones asignaron a aquellos con formación técnica a puestos como ingeniería o logística que utilizaban su experiencia, poniendo a los ciudadanos menos educados en las trincheras, pero Francia envió a todos, eruditos incluidos, a la batalla. Por lo tanto, después de la guerra, a las universidades francesas les faltaba una generación de profesores. Había profesores veteranos que determinaban qué se enseñaría y cómo, y profesores más jóvenes que eran colocados en las aulas para llevar a cabo esto.

Este fue un período de rápido avance en matemáticas, que no interesó a la generación anterior que se aferraba al enfoque de Henri Poincaré, el mayor matemático francés de la generación anterior, quien ubicaba la verdad de las proposiciones matemáticas en la intuición. Las matemáticas se tratan de conceptos mentales. Muchos de los nuevos desarrollos no encajaban en ese panorama, basándose en la nueva lógica matemática abstracta. El alemán David Hilbert y el italiano Guiseppe Peano obtuvieron resultados aplicando reglas formales a axiomas arbitrarios. Poincaré y los antiguos matemáticos franceses rechazaron esto.

Un retrato en blanco y negro de Henri Poincaré

Los jóvenes matemáticos viajaron, trajeron consigo nuevas ideas y decidieron modernizar el sistema. Se reunieron en París en el Café Grill-Room A. Capoulade después de unas charlas de matemáticas. En 1934, decidieron escribir un libro de texto que no comenzara con nociones intuitivas específicas como números y puntos, sino que adoptara un enfoque axiomático comenzando con las nociones más generales. Como escribieron en su último volumen, “la esencia de las matemáticas… aparece como el estudio de las relaciones entre objetos que sólo (voluntariamente) son conocidos y descritos por algunas de sus propiedades, precisamente aquellas que se colocan como axiomas en los fundamentos de la matemática”. su teoría.”

Se reunieron el verano siguiente en la estación de esquí de Besse-en-Chandesse y lanzaron el proyecto con la idea de que las matemáticas no deberían realizarse sólo en aulas polvorientas con pizarras, sino en la belleza de la naturaleza. Se reunían en el país anualmente y trabajaban más duro que durante el año escolar. Cuando comenzó la Segunda Guerra Mundial, el trabajo cesó ya que algunos miembros sirvieron en el ejército y otros que eran judíos tuvieron que huir cuando los nazis controlaban la mitad de Francia.

Después de la guerra, el grupo volvió a reunirse. Algunos miembros se establecieron permanentemente en el extranjero y tuvieron que ser reemplazados. Esto se convirtió en algo habitual ya que el grupo cambiaba de miembros con regularidad, pero se nominaban nuevos miembros (a menudo estudiantes de miembros anteriores) porque no sólo tenían conocimientos matemáticos sino que también aceptaban la visión profesional y cómica/social de Bourbaki.

Completaron sus volúmenes a lo largo de la década de 1950 y cambiaron con éxito la cultura matemática en Francia. Una nueva generación de matemáticos aprendió su enfoque y, en palabras de uno de los primeros miembros, salvó las matemáticas en Francia. La última generación de Nicolas Bourbaki fueron ellos mismos hijos de Bourbaki. La revolución fue completa porque el enfoque se había convertido en estándar. El enfoque tuvo tanto éxito que las escuelas públicas estadounidenses en la década de 1960 cambiaron los planes de estudios de matemáticas de la escuela primaria para basarlos en él, bajo el nombre de “Nuevas Matemáticas”.

Obras del Grupo Bourbaki

El grupo mantuvo el Séminare Bourbaki, encuentros anuales en zonas bucólicas para la discusión de matemáticas de vanguardia, incluyendo tanto a miembros como a no miembros. La visión inicial era construir un único libro de texto que se llamaría Elementos de Matemáticas, la última palabra extrañamente singular para enfatizar que su enfoque generalizado lo abarcaba todo y para mostrar que pensaban en las matemáticas de manera diferente. Originalmente lo imaginaron en seis volúmenes, pero lo ampliaron a 12, incluido un último libro sobre la historia de las matemáticas.

La intención explícita era que los libros no hicieran referencia a ninguna obra fuera de la escritura de Bourbaki, formando así un curso autónomo e interconectado en todas las matemáticas. En el orden en que debían aparecer, los volúmenes originales son:

  • Teoría de conjuntos: basada en el enfoque de Peano que axioma las relaciones entre colecciones de objetos sin estructura interna, Peano, Gottlob Frege y Bertrand Russell utilizaron la teoría de conjuntos como base para los números y las verdades de la aritmética. Bourbaki introdujo el símbolo ø para el conjunto nulo. Fue el primero previsto, pero el último completado.
  • Álgebra: Habiendo establecido las bases de las matemáticas como conjuntos, el siguiente volumen agrega estructura a los conjuntos examinando grupos y anillos, y luego derivando los teoremas del álgebra lineal. Si bien este enfoque es común hoy en día, fue revolucionario cuando Bourbaki lo empleó.
  • Topología general: si bien Henri Poincaré fue el antagonista en la historia de Bourbaki por su enfoque filosófico, su trabajo matemático fue apreciado. Poincaré descubrió el análisis situ o, como lo llamamos ahora, la topología, que es la base generalizada de la geometría. Siguiendo el planteamiento Bourbaki de partir de los aspectos estructurales más generales, introducen así la geometría, una de las primeras formas de las matemáticas.
  • Funciones de una variable real: el cuarto volumen finalmente llega al cálculo diferencial. El objetivo de este proyecto era reemplazar el texto de cálculo estándar. Se necesitaron cuatro volúmenes para realizar esta tarea.
  • Espacios vectoriales topológicos: en el penúltimo de los volúmenes planificados, los temas de los tres libros anteriores se combinan para examinar los elementos estructurales de tipos específicos de anillos que dan lugar a espacios vectoriales que finalmente conducen a espacios de Hilbert.
  • Integración: En el enfoque tradicional, la integración se trataba mediante una combinación de procesos mecánicos y aproximaciones intuitivas que se enseñan desde el principio y se amplían más adelante en cursos sobre ecuaciones diferenciales. Bourbaki, por otro lado, lo convierte en el último capítulo de los volúmenes originales, trabajando desde espacios continuos hasta espacios disjuntos de Hausdorff.

Los miembros posteriores reunieron volúmenes adicionales sobre grupos de Lie y álgebras de Lie, álgebra conmutativa, teoría espectral, variedades diferenciales y analíticas, topología algebraica y un volumen final sobre elementos de la historia de las matemáticas que rastrea el desarrollo de las matemáticas desde la antigua Babilonia hasta el siglo XIX. obra del propio Bourbaki.

Un retrato en sepia de Charles-Denis Bourbaki

Métodos de Nicolas Bourbaki

Bourbaki desarrolló un esquema para el proyecto, dividido en subcomités de tres personas en torno a temas específicos. Los subcomités estaban formados por dos expertos en el subcampo y un no experto que discutiría el tema y un miembro redactaría el capítulo. Se llevaría a todo el grupo, quien lo discutiría, haría sugerencias y asignaría a una persona diferente, a menudo fuera del subcomité, para reescribir el capítulo a la luz de la conversación. Ese nuevo borrador volvería y el proceso continuaría hasta que hubiera un acuerdo unánime sobre su integridad. Se necesitarían tantos borradores para llegar a ese punto que no se podría decir que una sola persona lo haya escrito. Se trataba más bien de una obra escrita por Nicolas Bourbaki.

Las discusiones sobre los temas y borradores no tenían una estructura específica, ni reglas de orden, y con frecuencia involucraban a los miembros gritándose unos a otros. Si bien las discusiones podían volverse acaloradas, una parte estándar del espíritu del grupo heredado de sus días universitarios era la afinidad por las bromas. El grupo cambió su nombre de “Comité para el Tratado de Análisis” cuando varios miembros decidieron bañarse desnudos en un estanque durante la primera conferencia de verano y los nadadores comenzaron a cantar al unísono “¡Bourbaki!” Esta referencia a la mordaza de su época universitaria quedó inmortalizada en su identidad colectiva. No indicaba una falta de seriedad, sino más bien un espíritu de antiautoritarismo que estaba detrás de su interés en ver las matemáticas de manera diferente a la forma en que se les enseñaba, reconstruyéndolas de nuevo según la forma en que las enseñarían.

Eso no significaba que no estuvieran por encima de una buena broma. Cuando un colega matemático publicó que Nicolas Bourbaki no existía, sino que era, de hecho, un grupo de escritores, Bourbaki contraatacó y lanzó una campaña sosteniendo que su colega, de hecho, era el que no existía.

Legado del Grupo Bourbaki

El trabajo de Nicolas Bourbaki superó con creces las expectativas. Su enfoque se convirtió en una formación estándar y la posición de Francia en matemáticas mejoró en la segunda mitad del siglo XX. Entre los ganadores de la Medalla Fields, el equivalente al Premio Nobel de Matemáticas, se encontraban Laurent Schwartz, Jean Pierre Serre, René Thom y Alexandre Grothendick, todos los cuales se convertirían en miembros de Bourbaki.

Sin embargo, a medida que las matemáticas se desarrollaron a lo largo del siglo XX, el enfoque de Bourbaki fue visto como un producto de su tiempo y que necesitaba ser reemplazado. Lo que había sido vanguardia se volvió obsoleto. Las conferencias continuaron, pero el grupo dejó de publicar.

El proyecto reformuló la formación matemática en las universidades francesas, pero su enfoque de reemplazar la memorización de procedimientos de cálculo en aritmética con los fundamentos de la teoría de conjuntos se volvió dominante en las escuelas secundarias de Estados Unidos. Los críticos objetaron que comenzar con la abstracción, no con la intuición, hace que el material sea menos accesible. Como los estudiantes no comienzan con ejemplos sencillos extraídos de la vida cotidiana, las matemáticas pueden parecer inútiles. El rigor y la generalidad pueden tener sentido para quienes ya dominan el campo, pero para muchos estudiantes es una barrera para la comprensión.

Su éxito ha integrado a Bourbaki en la cultura popular. El nombre “Nicolas Bourbaki” aparece en las canciones “Morph”, “Nico and the Niners” de la banda Twenty One Pilots y era el Blurryface sin nombre. El compositor Tyler Joseph utilizó el personaje para referirse a las causas de la ansiedad. “Él siempre intentará detenerme, ese Nicolas Bourbaki. No tiene amigos cercanos, pero los que más lo conocen lo saben. Se hace llamar Nico, me dijo que soy una copia”. Se puede ver la conexión matemática más adelante en la letra: “Unos y ceros, ergo esta sinfonía, ¿Alguien escucha? Unos y ceros, Cuenta hasta el infinito, unos y ceros”. La canción tiene al narrador contemplando cambiar su identidad, lo cual fue hecho por la nueva identidad de los miembros como Nicolas Bourbaki.

Resumen de la lección

Nicolas Bourbaki es el seudónimo de un grupo de matemáticos de la Francia del siglo XX que buscaron reformar colectivamente la formación de los matemáticos en las universidades francesas. El Grupo Bourbaki rechazó el enfoque estándar de la época basado en la intuición y optó por un enfoque axiomático formal que era más común entre los matemáticos alemanes. Escribieron colectivamente volúmenes que pretendían ser un único libro de texto coherente, pero que funcionan como una enciclopedia autónoma que desarrolla las herramientas de una amplia gama de subcampos matemáticos. Se pusieron el nombre de una broma que se hizo en la universidad, derivada de una conferencia falsa sobre los teoremas de Bourbaki, un general francés muerto.

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