Notación diferencial en física

Nuestro mundo cambiante

Mira a tu alrededor. Todo está cambiando. Por ejemplo, si estás en la Tierra, parece que las posiciones de las estrellas están cambiando. Es decir que cada estrella tiene un vector; tiene una x posición, una y posición y una z posición en el espacio. Con el tiempo, parece que se está moviendo. Su posición a lo largo de x está cambiando, su posición a lo largo de y está cambiando y su posición a lo largo de z está cambiando. Ves esto porque está subiendo en el cielo o más cerca del horizonte. Entonces, al menos en relación con nuestro punto de vista, la posición de la estrella está cambiando.

A medida que camina, su altitud puede cambiar en función de su posición en la tierra.

También ve cambios en la masa terrestre. Por ejemplo, cuando hay un terremoto, en una escala de tiempo a corto plazo, la posición de su casa podría cambiar. En la escala de tiempo a largo plazo, la posición de su casa, llamémosla x , podría moverse mucho. Podría moverse para que su posición esté más cerca de Oregon que de Arizona. Sin embargo, su variable independiente no siempre es el tiempo. Tu puesto no siempre depende del tiempo.

Si estás en la Tierra, tienes una cierta cantidad de presión atmosférica de aire presionándote, ¿verdad? Cuando vuela en un avión, esa presión atmosférica disminuye, es por eso que sus oídos explotan. Entonces, la presión ejercida sobre usted depende de su altitud. Es un cambio diferente con respecto a la altitud. Si simplemente está caminando por la Tierra, su altitud puede cambiar en función de su posición en la Tierra. Su altitud puede cambiar a medida que camina en la dirección x . Podrías ir directamente hacia el sur y caminar por un valle o subir una colina. Al final del día, su altitud cambia en función de la posición.

Según las películas, la fuerza entre dos personas se hace más fuerte cuanto más cerca están la una de la otra. Si ves a alguien del otro lado de la habitación, es posible que te atraiga. Cuando estés más cerca de ellos, quizás quieras darles un gran beso en los labios. Esto es lo mismo que decir que la fuerza entre dos personas, la fuerza de atracción, cambia a medida que cambia la distancia entre ellas. Aquí la fuerza sería su variable dependiente y la distancia sería su variable independiente.

Si estás saltando de un avión para hacer paracaidismo, antes de tirar del paracaídas, la fuerza del aire sobre ti dependerá de tu velocidad. Cuanto más alta sea tu velocidad, más te empujará la fuerza de este aire. Esto significa que la resistencia del aire depende de su velocidad.

La fuerza del aire sobre un paracaidista depende de la velocidad.

Ecuaciones diferenciales

Todas estas cosas físicas pueden describirse mediante ecuaciones diferenciales. Una ecuación diferencial es una ecuación que relaciona una variable y su tasa de cambio. Así que echemos otro vistazo a la posición.

Posición

Su posición depende de su velocidad, que podemos llamar dx / dt , o qué tan rápido cambia x en función del tiempo. Puede escribir su velocidad como una función que depende tanto de x como de t. Digamos que si subes una colina, tu velocidad puede ser menor que si no subes una colina. Así es como la velocidad puede depender de tu posición. Si está en una trampa de velocidad, en algún lugar de la autopista donde se sabe que la gente recibe multas, entonces quizás su velocidad sea menor de lo que hubiera sido de otra manera. Tu velocidad depende de la posición, pero también depende del tiempo. La velocidad a la que puede conducir durante la noche es muy diferente de la velocidad a la que puede conducir durante las horas pico. Entonces, si escribe su velocidad, su tasa de cambio de posición, en función del tiempo, dependerá tanto de su posición como del tiempo. Este es un ejemplo de una ecuación diferencial.

Temperatura

Otro ejemplo de una ecuación diferencial podría ser la temperatura de un líquido en su vaso después de haberlo dejado sobre una mesa. El cambio de temperatura en función del tiempo es dT / dt , donde T es la temperatura yt es el tiempo. Esta tasa de cambio puede depender tanto de la temperatura como del tiempo. Por ejemplo, si la hora actual es justo después de dejar el vaso, es posible que se esté enfriando o calentando o simplemente cambiando mucho más rápido de lo que lo haría dentro de cuatro días. Después de cuatro días, podría estar a temperatura ambiente. La temperatura de su vaso no está cambiando realmente, porque ahora solo está a temperatura ambiente.

Ejemplo de una ecuación diferencial

La rapidez con la que cambia la temperatura de su vaso con respecto al tiempo también depende de la temperatura de su vaso. Esta hirviendo? ¿Es agua helada? ¿Está a temperatura ambiente? Si su vaso está a temperatura ambiente, entonces no cambiará con respecto al tiempo. Si su vaso está hirviendo, y no se encuentra en un lugar donde la temperatura del aire esté hirviendo, entonces dT / dt va a cambiar con respecto al tiempo. Ese cambio va a ser negativo; se enfriará a medida que baje de ebullición a temperatura ambiente. Si su vaso está lleno de agua helada, entonces la temperatura aumentará en lugar de disminuir. Entonces, la tasa de cambio de temperatura con respecto al tiempo debe depender de una función que considere tanto el tiempo como la temperatura.

Resumen de la lección

Estos son algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales. En el fondo, una ecuación diferencial relaciona una variable con su tasa de cambio. El mundo está absolutamente lleno de ecuaciones diferenciales, porque el mundo es dinámico. El mundo esta cambiando. Está cambiando con el tiempo, está cambiando a medida que caminas por la Tierra; todo está lleno de cambios.