Rodrigo Ricardo

Parábolas en forma estándar, intercepto y vértice

Publicado el 18 septiembre, 2020

Tipos de parábolas

Cada vez que lances algo al aire, seguirá un camino parabólico. Desde tirar su envoltorio a la basura hasta lanzar un touchdown de 50 yardas hasta lanzar un pájaro que parece un poco enojado, vemos parábolas por todas partes. Entonces tiene sentido que queramos poder graficarlos porque los gráficos pueden ayudarnos a responder preguntas, como ¿mi pájaro alcanzará su objetivo?

Pero como suele ocurrir en matemáticas, hay más de una manera de hacerlo. En este caso, simplemente reorganizando las partes de la ecuación cuadrática, podemos terminar con un número infinito de formas de expresar lo mismo. Si bien la mayoría de las formas de escribir la ecuación cuadrática son redundantes e inútiles, hay tres formas que en realidad tienen usos únicos. Estas tres formas principales de las que graficamos las parábolas se denominan forma estándar , forma de intersección y forma de vértice . Cada formulario le proporcionará información ligeramente diferente y tendrá sus propias ventajas y desventajas. En este video, repasaremos ambos para todas las diferentes formas.


El valor a indica si la parábola es cóncava hacia arriba o hacia abajo
Gráficos de forma estándar

Forma estándar

Comencemos con la forma estándar, y = ax 2 + bx + c . No es en forma general, y aquí están algunos ejemplos concretos de lo que se podría parecerse a: y = x 2 + x + 1 y Y = -4 x 2 – 5 x + 9.

Para ser completamente honesto, la razón principal por la que este hace el corte como una forma útil es porque es la más fácil y básica de escribir. Si bien las otras formas requerirán una reordenación elegante con trucos de álgebra, como factorizar o completar el cuadrado, la mayoría de las cuadráticas estarán en forma estándar directamente desde el principio. Esto significa que puede sumergirse directamente en el problema desde el primer momento, mientras que las otras formas a menudo lo harán trabajar antes de que pueda comenzar. Sin embargo, una vez que superamos eso, la forma estándar no tiene mucho que ofrecer. Tal vez, su rasgo más útil es que el un valor que indica si la parábola es cóncava hacia arriba (positivo un valor) o cóncava hacia abajo (negativo un valor), pero resulta que todas las formas van a tener esta capacidad.

El segundo rasgo de la forma estándar tiene que ver con la intersección y de la parábola. Dado que el y intercepción es donde x = 0, sustituyendo esta en espectáculos nosotros que los unos y b términos abandonan, dejándonos con sólo el c valor. Por lo tanto, el valor de c es siempre la intersección con el eje y . Esto es genial, pero sustituir x = 0 en las otras formas para encontrar la intersección en y también es bastante fácil. Lo último que puedes hacer con la forma estándar es calcular el eje de simetría con la fórmula x = – b / 2 a. Una vez más, aunque esto es algo genial, encontrar el eje de simetría es posible y en realidad más fácil con las otras formas.

Forma de intercepción


El eje de simetría se encuentra directamente entre las dos raíces.
Gráfico de forma de intersección

La siguiente forma que veremos es la forma de intersección, y = a ( xp ) ( xq ). Esta es la forma general, y aquí hay algunos ejemplos específicos: y = – ( x – 1) ( x + 5) e y = 3 ( x + 5) ( x + 9).

Si bien es cierto que de vez en cuando se te presentará un problema que ya está en forma de intersección, a menudo será el caso de que primero tengas que factorizar la ecuación en forma estándar para que parezca una forma de intersección. Aunque esto a veces puede ser un dolor de cabeza, existen ventajas en hacer el trabajo. El un valor, una vez más, le dirá si la parábola es cóncava hacia arriba o hacia abajo, y si usted quiere encontrar la Y interceptación, simplemente puede sustituir en x = 0 y evaluar rápidamente un (- p ) (- q ).

Donde la forma de intercepción recibe su nombre y pasa a la forma estándar en utilidad, es en su capacidad de no solo decirle dónde está la intercepción y, sino también dónde están las intercepciones x . Debido a que las intersecciones con x son donde y = 0, la sustitución de p o q le dará un cero en su producto, convirtiendo la ecuación completa en cero. Por lo tanto, p y q son los dos x -intercepts o raíces, de su cuadrática. Sin embargo, tenga cuidado con las señales en sus raíces. Debido a que la ecuación general tiene a – p y – q , una ( x – 5) en realidad significaría una raíz enx = 5, mientras que un ( x + 5) significaría una raíz en x = -5.

Por último, debido a que las parábolas son simétricas, el eje de simetría debe estar directamente entre las dos raíces. Esto significa que puede encontrarlo en su gráfico trabajando en el medio o algebraicamente calculando el promedio entre los dos puntos: x = ( p + q ) / 2.

Forma de vértice


Los valores de h y k representan el vértice de la parábola
Parábolas de forma de vértice

Y finalmente llegamos a la forma de vértice: y = a ( xh ) 2 + k . Esta es la forma general, y estos son algunos ejemplos específicos: y = 9 ( x + 5) 2 – 1 e y = – ( x – 3) 2 – 1.

Esta vez, conseguir que su cuadrática tenga esta forma requiere que complete el cuadrado, que es posiblemente el truco algebraico más difícil de todos. Pero si puede, será recompensado por su arduo trabajo. En primer lugar, el de un valor todavía nos dice si le toca cóncava o hacia abajo, y la Y interceptación está todavía encontrar fácilmente mediante la sustitución de x = 0 y evaluación. Pero ahora, al igual que la forma de intersección nos dio las intersecciones, la forma de vértice nos dará el vértice de nuestra parábola directamente de la ecuación: h se convertirá en la coordenada x , y k se convertirá en la y-coordinado, de nuestro vértice. Ahora, podemos saber fácilmente dónde está el eje de simetría simplemente recordando que pasa por el medio de la gráfica donde está el vértice. Por lo tanto, el eje de simetría es solo la línea x = h .

Resumen de la lección

Para repasar, dependiendo de cómo la organices, una ecuación cuadrática se puede escribir en tres formas diferentes: estándar, intercepto y vértice . No importa la forma, un resultado positivo de un valor indica una parábola cóncava hacia arriba, mientras que una negativa a medios de valor cóncava hacia abajo.

El formulario estándar es el más básico y fácil de crear, pero tiene una utilidad limitada. La forma de intersección es lo que obtiene si está dispuesto a factorizar la cuadrática primero, y además de todo lo que le dice la forma estándar, también le da las intersecciones en x (o raíces) de la parábola. La forma de vértice es lo que obtienes si completas primero el cuadrado en la ecuación de forma estándar, y además de todo lo que te dice la forma estándar, también te da las coordenadas del vértice.

Objetivos de la lección

Una vez que complete esta lección, podrá:

  • Recuerde las diferentes formas en que se puede escribir una ecuación cuadrática
  • Sepa en qué se diferencian un valor positivo y un valor negativo en un gráfico
  • Entender cómo encontrar las diversas formas de una ecuación cuadrática.

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