Partícula en una Caja: Pozo de Potencial Finito y Efecto Túnel

Publicado el 22 junio, 2025 por Rodrigo Ricardo

En las partes anteriores, exploramos el modelo de la partícula en una caja con paredes de potencial infinito, tanto en una, dos y tres dimensiones. Sin embargo, en sistemas físicos reales, las barreras de potencial rara vez son infinitas. En esta tercera entrega, analizaremos el pozo de potencial finito, donde las paredes tienen una altura energética limitada, lo que introduce fenómenos cuánticos fascinantes como el efecto túnel, crucial en electrónica, microscopía y física de partículas.

Este análisis es fundamental para comprender dispositivos como los diodos túnel, la microscopía de efecto túnel (STM) y procesos nucleares como la fusión en estrellas. Abordaremos las ecuaciones modificadas, las diferencias con el modelo infinito y las implicaciones prácticas en tecnología cuántica.

7. Pozo de Potencial Finito

7.1 Definición y Comparación con el Pozo Infinito

Un pozo de potencial finito se define por:

[{eq}V(x) =
\begin{cases}
0 & \text{si } 0 \leq x \leq L \quad (\text{región interior}) \
V_0 & \text{si } x < 0 \text{ o } x > L \quad (\text{región exterior})
\end{cases}{/eq}]

Diferencias clave:

  • Función de onda no nula fuera del pozo: A diferencia del modelo infinito, la partícula tiene probabilidad no nula de estar en ( x < 0 ) o ( x > L ) (efecto túnel).
  • Niveles de energía menos espaciados: La cuantización sigue existiendo, pero con menos estados ligados (dependiendo de ( {eq}V_0{/eq} ) y ( L )).

7.2 Solución de la Ecuación de Schrödinger

Para la región interior (( {eq}0 \leq x \leq L{/eq} )):
[{eq}-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi}{dx^2} = E \psi \quad \Rightarrow \quad \psi(x) = A \sin(kx) + B \cos(kx), \quad k = \sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}{/eq}]

Para la región exterior (( x < 0 ) o ( x > L )):
[{eq}-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi}{dx^2} + V_0 \psi = E \psi \quad \Rightarrow \quad \psi(x) = C e^{-\alpha x} + D e^{\alpha x}, \quad \alpha = \sqrt{\frac{2m(V_0 – E)}{\hbar^2}}{/eq}]

Condiciones de frontera: Continuidad de ( {eq}\psi(x){/eq} ) y su derivada en ( x = 0 ) y ( x = L ).

7.3 Cuantización de la Energía

Las energías permitidas se obtienen resolviendo la ecuación trascendental resultante de las condiciones de frontera. A diferencia del pozo infinito, ahora:

  • El número de estados ligados es finito.
  • La energía del estado fundamental ( {eq}E_1{/eq} ) es menor que en el caso infinito.

8. Efecto Túnel

8.1 Concepto y Bases Físicas

El efecto túnel es un fenómeno puramente cuántico donde una partícula atraviesa una barrera de potencial ( {eq}V_0{/eq} ) incluso si su energía ( {eq}E < V_0{/eq} ). Esto es imposible en mecánica clásica.

Ejemplo clásico vs. cuántico:

  • Clásico: Una pelota no puede pasar una colina si no tiene energía suficiente.
  • Cuántico: Un electrón puede “aparecer” al otro lado de una barrera con cierta probabilidad.

8.2 Coeficiente de Transmisión

La probabilidad de tunelamiento se calcula con el coeficiente de transmisión ( T ). Para una barrera rectangular de ancho ( a ):

[{eq}T \approx e^{-2 \alpha a}, \quad \alpha = \sqrt{\frac{2m(V_0 – E)}{\hbar^2}}{/eq}]

Factores que afectan ( T ):

  • Energía de la partícula (( E )): A mayor ( E ), mayor ( T ).
  • Ancho de la barrera (( a )): Más estrecha → mayor probabilidad.
  • Altura de la barrera (( {eq}V_0{/eq} )): Más baja → mayor ( T ).

8.3 Aplicaciones del Efecto Túnel

  1. Microscopía de Efecto Túnel (STM):
  • Permite visualizar átomos en superficies midiendo la corriente de electrones que túnelan entre una punta metálica y la muestra.
  1. Diodos Túnel (Esaki):
  • Componentes electrónicos que aprovechan el tunelamiento para operar a altas frecuencias.
  1. Fusión Nuclear en Estrellas:
  • Los protones superan la repulsión coulombiana gracias al efecto túnel, permitiendo la fusión que alimenta al Sol.

9. Limitaciones y Extensiones del Modelo

9.1 Simplificaciones del Pozo Finito

  • No considera:
  • Potenciales no rectangulares (como los atómicos, tipo Coulomb).
  • Interacciones entre partículas (en sistemas multielectrónicos).

9.2 Modelos Más Realistas

  • Pozos asimétricos: Para modelar heteroestructuras en semiconductores.
  • Potenciales periódicos: Como en la teoría de bandas de sólidos.

Conclusión

El estudio del pozo de potencial finito y el efecto túnel revela cómo la mecánica cuántica difiere radicalmente de la física clásica, con aplicaciones revolucionarias en tecnología. Este conocimiento es esencial para innovaciones en computación cuántica, nanotecnología y energía.

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