Partícula en una Caja: Soluciones en 2D y 3D, Aplicaciones y Limitaciones

Publicado el 22 junio, 2025 por Rodrigo Ricardo

En la primera parte de este análisis, exploramos el modelo unidimensional de la partícula en una caja, sus niveles de energía cuantizados y la solución de la ecuación de Schrödinger. Ahora, ampliaremos el estudio a sistemas más complejos: la partícula en una caja bidimensional (2D) y tridimensional (3D), fundamentales para entender sistemas cuánticos reales como electrones en nanopartículas o moléculas en redes cristalinas.

Además, discutiremos aplicaciones prácticas en nanotecnología, espectroscopía y electrónica, así como las limitaciones del modelo, comparándolo con sistemas reales donde el potencial no es infinito. Este desarrollo es crucial para estudiantes e investigadores en física cuántica, ciencia de materiales y química teórica.

4. Partícula en una Caja Bidimensional (2D)

4.1 Definición y Ecuación de Schrödinger

En una caja 2D, la partícula se mueve libremente dentro de un área rectangular de dimensiones ( {eq}L_x \times L_y{/eq} ), con barreras de potencial infinito en los bordes. La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se escribe como:

[{eq}-\frac{\hbar^2}{2m} \left( \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2} \right) = E \psi(x, y){/eq}]

4.2 Solución por Separación de Variables

La función de onda ({eq}\psi(x, y){/eq}) puede resolverse asumiendo una solución separable:

[{eq}\psi_{n_x, n_y}(x, y) = \psi_{n_x}(x) \cdot \psi_{n_y}(y) = \sqrt{\frac{4}{L_x L_y}} \sin\left( \frac{n_x \pi x}{L_x} \right) \sin\left( \frac{n_y \pi y}{L_y} \right){/eq}]

donde ( {eq}n_x{/eq} ) y ( {eq}n_y{/eq} ) son números cuánticos enteros positivos.

4.3 Niveles de Energía en 2D

La energía total se cuantiza según:

[{eq}E_{n_x, n_y} = \frac{h^2}{8m} \left( \frac{n_x^2}{L_x^2} + \frac{n_y^2}{L_y^2} \right){/eq}]

Casos especiales:

  • Si ( {eq}L_x = L_y{/eq} ) (caja cuadrada), los niveles con ( {eq}n_x \neq n_y{/eq} ) pueden ser degenerados (misma energía para distintos estados).
  • Este modelo explica propiedades de pozos cuánticos en semiconductores.

5. Partícula en una Caja Tridimensional (3D)

5.1 Extensión del Modelo a 3D

En una caja cúbica de arista ( L ), la ecuación de Schrödinger y su solución generalizan a:

[{eq}\psi_{n_x, n_y, n_z}(x, y, z) = \left( \frac{2}{L} \right)^{3/2} \sin\left( \frac{n_x \pi x}{L} \right) \sin\left( \frac{n_y \pi y}{L} \right) \sin\left( \frac{n_z \pi z}{L} \right){/eq}]

5.2 Energía Cuantizada en 3D

La energía depende de tres números cuánticos:

[{eq}E_{n_x, n_y, n_z} = \frac{h^2}{8m L^2} (n_x^2 + n_y^2 + n_z^2){/eq}]

Degeneración: En una caja cúbica, estados como ( (1, 2, 3) ), ( (2, 1, 3) ), etc., pueden tener la misma energía.

6. Aplicaciones del Modelo

6.1 Electrones en Nanopartículas

  • Los puntos cuánticos (quantum dots) usados en pantallas y células solares siguen un comportamiento similar al de una partícula en una caja 3D, donde el tamaño de la nanopartícula determina su color (energía de emisión).

6.2 Espectroscopía Molecular

  • Las transiciones entre niveles de energía en moléculas lineales (como el butadieno) se modelan con este sistema, prediciendo absorción de luz UV/visible.

6.3 Limitaciones del Modelo

  • Potencial no infinito: En sistemas reales (como electrones en un átomo), las barreras tienen altura finita, permitiendo efecto túnel.
  • Interacciones omitidas: No considera fuerzas entre partículas o campos externos.

Conclusión

La generalización a 2D y 3D del modelo de partícula en una caja permite aplicaciones en nanotecnología y ciencia de materiales, aunque sus simplificaciones requieren ajustes para sistemas reales. En la tercera parte, analizaremos extensiones como el pozo de potencial finito y el efecto túnel.

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