Rodrigo Ricardo

Permutación circular: fórmula y ejemplos

Publicado el 1 noviembre, 2020

¿Qué es una permutación?

¿De cuántas formas se pueden ordenar las letras A, B, C y D en una línea? Si se cambia el orden de las letras, ¿eso crea un nuevo arreglo? Dado que las letras son todas diferentes, cambiar el orden crea un nuevo arreglo. Por lo tanto, llamamos a este tipo de pregunta una permutación porque el orden de los elementos es importante. Una permutación es solo una disposición de n elementos en los que el orden es importante.

Aquí están todas las formas posibles de organizar estas cuatro letras:

ABCD ABDC ACBD ACDB ADBC ​​ADCB

BACD BADC BCAD BCDA BDAC BDCA

CABD CADB CBAD CBDA CDAB CDBA

DABC DACB DBAC DBCA DCAB DCBA

Si cuenta el número de arreglos diferentes, obtendrá 24. Otra forma de llegar a esta conclusión es pensarlo así. Hay cuatro opciones de letras para la primera posición en el grupo, tres opciones de letras que quedan para la segunda posición, dos opciones de letras que quedan para la tercera posición y, finalmente, una letra que queda para la cuarta posición. Esto nos permite crear una ecuación para obtener nuestra respuesta:

(4) * (3) * (2) * (1) = 4! = 24 vías

¡Tenga en cuenta que 4! significa 4 factorial, que es solo otra forma de escribir (4) * (3) * (2) * (1).

¿Cuál es el efecto de poner los elementos en un círculo?

¿Qué pasaría si las letras estuvieran dispuestas en círculo? ¿Afectaría esto al número de diferentes arreglos posibles? Este tipo de situación se llama permutación circular , que consiste simplemente en encontrar la disposición de las cosas en un círculo. Mira estos arreglos de dos círculos. A primera vista, parecen ser diferentes, pero hágase otra pregunta. ¿Es posible rotar la figura de la izquierda para que se parezca a la figura de la derecha? Dado que la respuesta es sí, esto significa que las letras están en la misma posición entre sí; por lo tanto, este no es un arreglo nuevo.

De hecho, hay cuatro arreglos que son iguales. Aquí están los otros dos.

En este diagrama, cada arreglo (de los 24 originales) que es el mismo en un círculo también se resalta en el mismo color para que pueda ver los duplicados más fácilmente.

Observe que el primer grupo en la fila 1 (resaltado en amarillo) corresponde al círculo de la izquierda en el primer par, y el primer grupo en la fila cuatro (también resaltado en amarillo) corresponde al círculo de la derecha en el primer par. También hay un grupo en amarillo en la segunda y tercera filas que corresponden al segundo par de círculos. Esto significa que hay tres duplicados de cada agrupación de la fila uno. Girar el círculo no crea nuevos arreglos. Si dividimos el total por 4, esto dará como resultado el número de arreglos distintos (únicos) en un círculo.

4! / 4 = 3! = (3) * (2) * (1) = 6

Ahora puede ver todos los arreglos de la fila uno:

La formula

Ahora tenemos la fórmula . La permutación de n elementos en una fila es n !, Pero la permutación de n elementos en un círculo es n ! / N o ( n -1) !. Esto será cierto si los elementos son letras, números, colores, objetos, personas, etc.

El círculo es gratis

Este círculo se considera fijo . Esta es la situación más común, y esto es lo que se pretende a menos que se especifique lo contrario. No se puede sacar del avión y voltear. Si pudiera, significaría que el círculo está libre y que tanto la disposición en sentido horario como antihorario resultarían en duplicados. En nuestro diagrama de los seis círculos, el primer y el sexto círculo serían iguales, el segundo y el cuarto serían iguales y el tercero y el quinto serían iguales si el círculo está libre. El número resultante de arreglos es tres, o la mitad del monto anterior. Por lo tanto, la permutación de n elementos en un círculo ‘libre’ (uno que se puede voltear) es n ! / 2 n o (1/2) * (n -1)!

Problema de ejemplo

¿De cuántas formas se pueden colocar cinco sillas de diferentes colores en un círculo fijo? ¿En un círculo libre?

Hay cinco sillas, lo que significa que n = 5.

¡Las permutaciones de 5 elementos en un círculo fijo son (5-1)! = 4! = (4) * (3) * (2) * (1) = 24 vías

¡Las permutaciones de 5 elementos en un círculo libre son (5-1)! / 2 = 4! / 2 = 24/2 = 12 vías

Resumen de la lección

El número de formas en que se puede organizar un grupo de elementos depende de varios factores. La fórmula para cada escenario es diferente.

  • ¿Importa el orden? Permutaciones de n elementos en una línea = n !
  • ¿Están los elementos en una línea o en un círculo? Permutaciones de n elementos en un círculo fijo = n ! / n = ( n – 1)!
  • ¿El círculo es libre? Permutaciones de n elementos en un círculo libre = n ! / 2 n = (1/2) * ( n -1)!

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