foto perfil

Practique la demostración de relaciones mediante la congruencia y la similitud

Publicado el 22 septiembre, 2020

Congruencia y similitud

A Johanna le gusta coser y decide hacer algunos vestidos para sus amigas. Una amiga es muy pequeña y la otra muy alta, por lo que no puede usar el mismo patrón para ambos vestidos. Compra dos tamaños diferentes de patrones para el vestido y cuando mira los vestidos terminados uno al lado del otro, ve algo muy interesante.

Los dos vestidos tienen exactamente la misma forma, pero uno es más grande que el otro. Aunque puede que Johanna no se haya dado cuenta, su observación sobre la similitud de las formas de los vestidos que hizo revela una relación geométrica real entre los dos vestidos. En geometría, si dos figuras son similares , tienen la misma forma pero son de diferentes tamaños, al igual que estos dos vestidos.

Además de ser similares, dos figuras también pueden ser congruentes, pero no todas las formas similares son también congruentes. Para que las formas sean congruentes y similares, deben tener no solo la misma forma, sino también el mismo tamaño. Si Johanna hiciera varios vestidos que fueran todos de talla pequeña, entonces diríamos que todos esos vestidos eran congruentes.

Triángulos congruentes

Si bien podemos mirar los vestidos y ver que son similares, esto no constituye una prueba matemática. Entonces, ¿cómo puedes probar que dos formas son congruentes o similares? Usemos un triángulo, una forma geométrica común, para ilustrar las relaciones entre formas similares y congruentes. Primero, repasaremos algunas formas de demostrar que dos triángulos son congruentes. Recuerde, las formas que son congruentes tendrán exactamente el mismo tamaño y forma.

Hay varias formas de demostrar que los triángulos son congruentes. Una forma es comparar cada uno de los tres lados de un triángulo, lo que se conoce como prueba lado-lado-lado (SSS) . Dos triángulos son congruentes si cada lado del primer triángulo es congruente (igual) a un lado del segundo triángulo.

Nuestra segunda prueba se conoce como lado-ángulo-lado (SAS) . Dos triángulos son congruentes si dos lados de un triángulo y el ángulo entre ellos son congruentes con los mismos lados y ángulo en el segundo triángulo.

Con la prueba del lado del ángulo del ángulo (AAS) , vemos que dos triángulos son congruentes si dos ángulos y un lado (uno que no está entre los ángulos) en el primer triángulo son congruentes con los mismos ángulos y lado en el segundo triángulo.

También podemos mirar un lado entre dos ángulos. Con el ángulo del lado del ángulo (ASA) , sabemos que dos triángulos son congruentes si dos ángulos y el lado entre ellos son congruentes con los mismos ángulos y el lado incluido en el segundo triángulo.

Si puedes demostrar que cualquiera de estos es cierto, entonces sabes que los triángulos son congruentes.

¿Qué pasa con dos triángulos que tienen las mismas medidas de ángulo? ¿Son también congruentes? Puede que lo sean, pero el simple hecho de conocer las medidas de los ángulos de los triángulos no es suficiente para demostrar que los triángulos son congruentes. Los triángulos similares también tienen las mismas medidas de ángulos, pero los lados pueden tener diferentes longitudes.

Triángulos similares

Ahora que sabemos cómo demostrar la congruencia, veamos las formas de demostrar la similitud entre dos formas. La prueba de triángulos similares es un poco más simple. Los triángulos similares tienen la misma forma, pero de diferentes tamaños, así que lo único que necesitas demostrar para demostrar que dos triángulos son similares es que los ángulos del primer triángulo son iguales a los del segundo triángulo. Las longitudes de los lados pueden ser diferentes y los triángulos seguirán siendo similares.

Sin embargo, las longitudes de los lados en triángulos similares serán proporcionales entre sí, incluso cuando no tengan la misma longitud. Mire estos dos triángulos similares y vea si puede determinar la longitud del lado desconocido:

triángulos similares

Como los triángulos son similares, sabes que las longitudes de los lados son proporcionales. Esto significa que puede establecer una razón de longitudes de lados para encontrar la longitud del lado desconocido.

relación triangular similar

Ahora, puedes multiplicar de forma cruzada para resolver el lado desconocido.

multiplicación cruzada

Puedes usar un proceso similar para encontrar las longitudes de los lados de dos triángulos similares.

relaciones triangulares similares

Resumen de la lección

En geometría, si dos figuras son similares , tienen la misma forma pero diferentes tamaños. Los triángulos que son similares tendrán las mismas medidas de ángulo, pero pueden tener lados de diferentes longitudes. Sin embargo, las longitudes de los lados de dos triángulos similares son directamente proporcionales entre sí, por lo que puedes construir una razón de las longitudes de los lados para encontrar cualquiera que no se conozca. Las formas congruentes no solo tienen la misma forma, sino también el mismo tamaño. Los triángulos congruentes (y otras formas congruentes) tienen las mismas medidas de ángulos que los triángulos similares, pero también tienen las mismas longitudes de lado. Hay cuatro formas en las que puedes probar que dos triángulos son congruentes:

  1. Lado-lado-lado (SSS) : Dos triángulos son congruentes si cada lado del primer triángulo es congruente (igual) a un lado del segundo triángulo.
  2. Lado-ángulo-lado (SAS) : Dos triángulos son congruentes si dos lados en un triángulo y el ángulo entre ellos son congruentes con los mismos lados y ángulo en el segundo triángulo.
  3. Lado del ángulo del ángulo (AAS) : dos triángulos son congruentes si dos ángulos y un lado (que no está entre los ángulos) en el primer triángulo son congruentes con los mismos ángulos y lado en el segundo triángulo.
  4. Ángulo del lado del ángulo (ASA) : dos triángulos son congruentes si dos ángulos y el lado entre ellos son congruentes con los mismos ángulos y el lado incluido en el segundo triángulo.

Articulos relacionados