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Practique sumar y restar expresiones racionales

Publicado el 18 septiembre, 2020

Introducción

¿Recuerdas cuando sumamos y restamos fracciones ? Bueno, una expresión racional es simplemente una fracción con ‘x ‘ y números. Seguimos el mismo proceso para sumar y restar expresiones racionales con un pequeño giro. Ahora es posible que necesitemos factorizar y FOIL para simplificar la expresión.

El proceso que seguiremos es:

  1. Factor
  2. Encuentra el denominador común
  3. Reescribe fracciones usando el denominador común.
  4. Coloca todo el numerador sobre el denominador común.
  5. Simplifica el numerador
  6. Factorizar y cancelar, si es posible
  7. Escribe la respuesta final en forma simplificada.

Al comenzar, recordemos también que para sumar o restar fracciones, necesitamos un denominador común. Prueba este mnemónico para ayudarte a recordar cuándo necesitas un denominador común y cuándo no:

Sumar Restar Denominadores Comunes , Multiplicar Dividir Ninguno.

La tía se sienta contando diamantes, la madre no.

Ejemplo 1

Veamos nuestro primer ejemplo.

( x + 4) / (3 x – 9) + ( x – 5) / (6 x – 18)

Primero, necesitamos factorizar.

(3 x – 9) = 3 ( x – 3) y (6 x – 18) = 6 ( x – 3)

Después de reemplazar los términos factorizados, nuestra nueva expresión se ve así:

( x + 4) / 3 ( x – 3) + ( x – 5) / 6 ( x – 3)

Para encontrar nuestro denominador común, simplemente escribimos nuestros denominadores . Desde el primer término tenemos 3 ( x – 3) como nuestro denominador. Lo escribimos para nuestro denominador común. Cuando miramos el denominador de la segunda expresión, 6 ( x – 3), notamos que 6 = 3 * 2. Entonces, la segunda expresión tiene 2 * 3 ( x – 3). Ya tenemos 3 ( x – 3) escrito, así que la única pieza que no usamos es 2. Lo escribimos multiplicado por 3 ( x – 3). Nuestro denominador común será 2 * 3 ( x – 3) o 6 ( x – 3).

Nuestro siguiente paso es multiplicar cada parte de la expresión para que tengamos 6 ( x – 3) como nuestro nuevo denominador. En nuestra primera fracción, necesitamos multiplicar por 2 sobre 2. Esto me dará 2 ( x + 4) / 2 * 3 ( x – 3). Mirando la segunda fracción, me doy cuenta de que ya tengo 6 ( x – 3) en el denominador, así que puedo dejar esta sola.

Ahora escribamos el numerador completo sobre nuestro denominador común:

2 ( x + 4) + (x – 5) / 6 ( x – 3)

Simplifiquemos el numerador.

2 ( x + 4) = 2 x + 8

2 x + 8 + (x – 5) / 6 ( x – 3)

Recopile términos semejantes en el numerador.

3 x + 3/6 ( x – 3)

Factoriza el numerador si es posible.

3 x + 3 = 3 ( x + 1)

El 3 sobre 6 se reduce a 1 sobre 2. No hay nada que cortar o cancelar, por lo que distribuimos en el numerador y denominador para nuestra respuesta final:

x + 1/2 x – 6

Ejemplo # 2

( x – 2) / ( x + 5) + ( x ^ 2 + 5 x + 6) / ( x ^ 2 + 8 x + 15)

Primero, necesitamos factorizar.

x ^ 2 + 5 x + 6 = ( x + 3) ( x + 2)

x ^ 2 + 8 x + 15 = ( x + 5) ( x + 3)

Después de reemplazar los términos factorizados, nuestras nuevas expresiones se ven así:

( x – 2) / ( x + 5) + ( x + 3) ( x + 2) / ( x + 5) ( x + 3)

Para encontrar nuestro denominador común, simplemente escribimos nuestros denominadores. Desde el primer término, tenemos ( x + 5) como nuestro denominador. En el segundo término, tenemos ( x + 5) y ( x + 3). Como ya tenemos ( x + 5) escrito como parte de nuestro denominador común, simplemente escribiremos ( x + 3). Entonces, nuestro denominador común es ( x + 5) ( x + 3).

Nuestro siguiente paso es multiplicar cada parte de la expresión, por lo que tenemos ( x + 5) ( x + 3) como nuestro nuevo denominador. En la primera fracción, necesitamos multiplicar por ( x + 3) sobre ( x + 3). Esto nos dará ( x – 2) ( x + 3) / ( x + 5) ( x + 3) como nuestra primera fracción. Mirando la segunda fracción, me doy cuenta de que ya tengo ( x + 5) ( x + 3) en el denominador, así que puedo dejar esta sola.

Ahora, escribamos el numerador completo sobre nuestro denominador común.

(( x – 2) ( x + 3) + ( x + 3) ( x + 2)) / ( x + 5) ( x + 3)

Simplifiquemos el numerador escribiendo el numerador sobre nuestro denominador común y FOIL.

( x – 2) ( x + 3) = ( x ^ 2 + x – 6) y

( x + 3) ( x + 2) = ( x ^ 2 + 5 x + 6)

Recopile términos semejantes en el numerador.

2 x ^ 2 + 6 x

Factoriza el numerador si es posible.

2 x ( x + 3)

Nuestra expresión ahora se ve así:

2 x ( x + 3) / ( x + 5) ( x + 3)

Podemos cortar o cancelar ( x + 3) sobre ( x + 3).

Esto nos da nuestra respuesta final, 2 x / ( x + 5).

Ejemplo # 3

( x ^ 2 + 12 x + 36) / ( x ^ 2 – x – 6) + (x + 1) / (3 – x)

Primero, necesitamos factorizar.

( x ^ 2 + 12 x + 36) = ( x + 6) ( x + 6)

( x ^ 2 – x + 6) = ( x – 3) ( x + 2)

Después de reemplazar los términos factorizados, nuestras nuevas expresiones se ven así:

( x + 6) ( x + 6) / ( x – 3) ( x + 2)) + ( x + 1) / (3 – x )

Para encontrar nuestro denominador común, simplemente escribimos nuestros denominadores. Desde el primer término, tenemos ( x – 3) ( x + 2) como nuestro denominador. En el segundo término, tenemos (3 – x ). Podría escribir (3 – x ) como parte del denominador común, pero sé que -1 * ( x – 3) = (3 – x ). Entonces, ahora coincidirá con el denominador ( x – 3).

Ahora, nuestra expresión se ve así:

( x + 6) ( x + 6) / ( x – 3) ( x + 2)) + ( x + 1) / – 1 ( x – 3

¿Y ese -1? Se puede poner en el numerador. Recuerde, 1 / -1 = -1/1 = -1. No importa dónde coloque el -1 en la fracción siempre que tenga un +1 para que coincida.

Entonces, nuestro denominador común es ( x – 3) ( x + 2).

En la primera fracción, ya tengo el denominador común ( x – 3) ( x + 2), así que lo dejo solo. En la segunda fracción, necesito multiplicar por ( x + 2) sobre ( x + 2). Esto nos da el denominador común de ( x – 3) ( x + 2).

Nuestra expresión ahora se ve así:

( x + 6) ( x + 6) / ( x – 3) ( x + 2) + (-1) ( x + 1) ( x + 2) / ( x – 3) ( x + 2)

Simplifiquemos el numerador escribiendo el numerador sobre nuestro denominador común y usando FOIL, que es First Outside Inside Last .

( x + 6) ( x + 6) = x ^ 2 + 12 x + 36

y

(-1) ( x + 1) ( x + 2) = (-1) ( x ^ 2 + 3 x + 2) = – x ^ 2-3 x – 2

Recopile términos semejantes en el numerador. Nuestra expresión ahora se ve así:

(9 x + 34) / ( x – 3) ( x + 2)

El numerador no factoriza, por lo que nuestro último paso es FALTAR el denominador.

Nuestra respuesta final es (9 x + 34) / ( x ^ 2 – x – 6).

Resumen de la lección

El proceso que seguimos es:

  1. Factor
  2. Encuentra el denominador común
  3. Reescribe fracciones usando el denominador común.
  4. Coloca todo el numerador sobre el denominador común.
  5. Simplifica el numerador
  6. Factorizar y cancelar, si es posible
  7. Escribe la respuesta final en forma simplificada.

Simplificar expresiones racionales puede parecer un proceso abrumador en este momento, pero con la práctica, mejorará. Un consejo mío para ti: si no tienes la respuesta correcta la primera vez, no borres toda la expresión. Empiece desde el principio de su trabajo y busque pequeños errores. Muchos de mis alumnos tienen la idea correcta, solo un cartel fuera de lugar o un error de factorización.

Objetivos de la lección

Una vez que termine esta lección, mejorará enormemente su capacidad para sumar y restar expresiones racionales.

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