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Primera derivada: función y ejemplos

Publicado el 2 noviembre, 2020

¿Qué es una primera derivada?

La primera derivada de una función es una nueva función (ecuación) que le da la tasa de cambio instantánea de alguna función deseada en cualquier punto.

Suponga que está jugando a un videojuego. Mueves a tu personaje, Squirmy, a través de un largo túnel subterráneo usando tu panel de control. Una cosa que el pad le permite hacer es acelerar y reducir la velocidad. Entonces, Squirmy a veces viaja más rápido y a veces más lento a través del túnel.

Tal vez estés impaciente por llevar a Squirmy a través del túnel, así que usas los controles para acelerarlo gradualmente. Su velocidad en cualquier momento se ve así:

s = 2 x + 5

En esta ecuación, x representa el número de segundos desde que Squirmy entró en el túnel y s representa su velocidad (en cm / segundo). Si coloca un 0 para x , verá que en el tiempo cero (cuando entró en el túnel), viajaba a 5 cm / segundo. Un segundo después ( x = 1), viajaba a 7 cm / seg. Después de otro segundo ( x = 2), se movía a la velocidad de 9 cm / segundo. Claramente, Squirmy está ganando velocidad. Su tasa de cambio instantáneo (velocidad en un instante en el tiempo) cambia constantemente.

Una ecuación que nos da la tasa de cambio en cualquier instante es una primera derivada. Si y es la distancia, o la ubicación, generalmente la etiquetamos dy / dx (cambio en y con respecto a x ) o f ‘(x) .

Encontrar una primera derivada

Ya tenemos la primera función derivada de Squirmy, pero pretendamos por un momento que no la tenemos. Imagina que todo lo que tenemos es una función que nos dice dónde estará en cualquier momento. En este caso, podríamos tener:

y = x ^ 2 + 5 x , donde y es la distancia de Squirmy desde la entrada del túnel.

La fórmula de la primera derivada se basa en realidad en la idea de cambio relativo. Todo lo que queremos saber es en algún instante qué tan rápido está cambiando su distancia ( y ) con respecto al tiempo ( x ).

  • Velocidad en un momento específico = tasa de cambio instantánea en un momento específico = primera derivada en un momento específico = (cambio en y ) / (cambio en x )

Una complicación aquí es que el ‘cambio en x ‘ (tiempo) en un instante es cero. Entonces, en teoría, necesitamos dividir por cero. Afortunadamente, tenemos algunas formas de evitarlo.

La forma de evitarlo es que no evaluaremos (cambio en y ) / (cambio en x ) cuando el cambio en x sea ​​cero. En cambio, veremos qué sucede con esa razón (fracción) cuando el cambio en x se acerca mucho a cero. En otras palabras, usamos el concepto de límites del cálculo.

Matemáticamente, lo escribes de esta manera:

Fórmula para la primera derivada

Entonces, encuentra qué tan lejos viaja en un instante, dividido por la longitud de ese instante, y luego encuentra a qué se acerca realmente a medida que el instante se vuelve cada vez más pequeño (más cercano a cero).

Usando la función de distancia de Squirmy, y = x ^ 2 + 5 x o f (x) = x ^ 2 + 5 x , primero encuentra dónde estará en un instante ( h ) a partir de ahora:

f ( x + h ) = ( x + h ) ^ 2 + 5 ( x + h ) = x ^ 2 + 2 xh + h ^ 2 + 5 x + 5 h

Luego, simplemente inserta valores en la fórmula y usa algo de álgebra.

Ejemplo 1

Esto debería parecerse mucho a la función de velocidad de Squirmy desde el principio del artículo.

Encontrar la primera derivada de un polinomio siempre se parece mucho a esto. h siempre se dividirá en el numerador, eliminando un problema de división por cero.

Otro ejemplo

Suponga ahora que tiene una función polinomial diferente:

f ( x ) = 2 x ^ 3 + 2

Encontrar la derivada implica los mismos pasos.

Primero, encuentre f ( x + h ) = 2 ( x + h ) ^ 3 – 3 ( x + h ) + 2 = 2 ( x ^ 3 + 3 x ^ 2 h + 3 xh ^ 2 + h ^ 3) + 2

Luego, conecte la fórmula de la derivada y simplifique.

ejemplo 2

Resumen de la lección

La primera derivada es una fórmula para la tasa instantánea de cambio de una variable con respecto a otra. Usando la fórmula del límite, encontrar la primera derivada de un polinomio requiere simplemente seguir un conjunto de pasos predecibles.

Los resultados del aprendizaje

Reúna información sobre la primera derivada a través de esta lección, luego haga todo lo posible para:

  • Indique la definición de una primera derivada
  • Escribe la fórmula para resolver la primera derivada
  • Encuentra una primera derivada siguiendo los pasos correctos

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