Probabilidad compuesta: definición y ejemplos

¿Alguna vez has lanzado dos dados y te has preguntado cuál es la probabilidad de que en ambos salga un número par? ¿O has participado en un sorteo donde primero extraes una bola y luego otra sin devolverla? Estos son escenarios de probabilidad compuesta, un concepto clave para entender eventos que dependen de más de una condición.

En este artículo aprenderás, desde cero y con ejemplos claros, qué es la probabilidad compuesta, cómo se diferencia de la simple, cuándo usar la regla de la multiplicación y cómo resolver problemas con o sin reemplazo.

¿Qué es la probabilidad compuesta? Definición directa

La probabilidad compuesta es la probabilidad de que ocurran dos o más eventos simultánea o sucesivamente. En lugar de calcular la chance de un solo suceso (como sacar un 4 en un dado), evaluamos la combinación de varios.

Se expresa matemáticamente como:$$P(A\cap B)=P(A)\times P(B\mathrm{\mid }A)$$

Donde:

• $P(A\cap B)$ es la probabilidad de que ocurran A y B.
• $P(B\mathrm{\mid }A)$ es la probabilidad de que ocurra B dado que ya ocurrió A.

Ejemplo rápido: Si lanzas una moneda y luego un dado, la probabilidad de obtener “cara” y un número mayor que 4 es:

• P(cara) = 1/2
• P(número >4) = 2/6 = 1/3
• Como son independientes: (1/2) × (1/3) = 1/6.

Diferencia clave: probabilidad simple vs. compuesta

Entender esta diferencia es fundamental antes de avanzar a los tipos de eventos.

Tipos de eventos en probabilidad compuesta

Para aplicar bien la probabilidad compuesta, debes clasificar los eventos como independientes o dependientes.

Eventos independientes

El resultado del primer evento no afecta la probabilidad del segundo.

• Ejemplo: lanzar una moneda y luego un dado.
• Fórmula: $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$

Eventos dependientes

El resultado del primer evento cambia la probabilidad del segundo.

• Ejemplo: extraer dos cartas de una baraja sin devolver la primera.
• Fórmula: $P(A\cap B)=P(A)\times P(B\mathrm{\mid }A)$

Regla de la multiplicación: el corazón de la probabilidad compuesta

La regla de la multiplicación establece que la probabilidad de que ocurran varios eventos es el producto de sus probabilidades, ajustando cuando hay dependencia.

Caso independiente:$$P(AyB)=P(A)\times P(B)$$

Caso dependiente:$$P(AyB)=P(A)\times P(Bdespu\acute{e}sdeA)$$

Veremos esto con ejemplos detallados.

Ejemplo 1: Probabilidad compuesta con eventos independientes (con reemplazo)

Problema: Una urna tiene 5 bolas rojas y 3 azules. Extraemos una bola, la devolvemos (con reemplazo) y extraemos otra. ¿Probabilidad de que ambas sean rojas?

Solución paso a paso:

1. Probabilidad de primera roja: 5/8 = 0.625
2. Como hay reemplazo, la segunda también es 5/8 = 0.625
3. Multiplicamos: (5/8) × (5/8) = 25/64 ≈ 0.3906 (39.06%)

Conclusión: En eventos independientes, la probabilidad compuesta es simplemente el producto de las probabilidades individuales.

Ejemplo 2: Probabilidad compuesta con eventos dependientes (sin reemplazo)

Problema: Misma urna (5 rojas, 3 azules), pero esta vez sin reemplazo. ¿Probabilidad de dos rojas seguidas?

Solución paso a paso:

1. Primera roja: 5/8
2. Sin reemplazo, quedan 4 rojas y 7 bolas en total. Segunda roja: 4/7
3. Multiplicamos: (5/8) × (4/7) = 20/56 = 5/14 ≈ 0.3571 (35.71%)

Comparación: Es menor que con reemplazo (39.06% → 35.71%) porque al quitar una roja, disminuye la chance de sacar otra roja.

Ejemplo 3: Probabilidad de al menos un evento compuesto

A veces nos interesa la probabilidad de que ocurra al menos uno de varios eventos. Para ello, usamos el complemento.

Problema: Si la probabilidad de que un estudiante apruebe matemáticas es 0.7 y la de que apruebe física es 0.6, y son independientes, ¿cuál es la probabilidad de que apruebe al menos una?

Solución:

• Probabilidad de que no apruebe matemáticas: 1 – 0.7 = 0.3
• Probabilidad de que no apruebe física: 1 – 0.6 = 0.4
• Probabilidad de que no apruebe ninguna: 0.3 × 0.4 = 0.12
• Probabilidad de que apruebe al menos una: 1 – 0.12 = 0.88 (88%)

Este truco del complemento es muy útil en probabilidad compuesta.

Ejemplo 4: Probabilidad compuesta con más de dos eventos

Problema: Una máquina tiene 3 componentes. La probabilidad de fallo del primero es 0.1, del segundo 0.05 y del tercero 0.2, independientes entre sí. ¿Probabilidad de que fallen los tres?

Solución:$$0.1\times 0.05\times 0.2=0.001(0.1\mathrm{\%})$$

Importante: La regla se extiende a cualquier número de eventos: multiplicar todas las probabilidades si son independientes.

¿Cómo resolver problemas de probabilidad compuesta? Método en 4 pasos

1. Identificar si los eventos son independientes o dependientes.
2. Calcular la probabilidad del primer evento.
3. Ajustar la probabilidad del segundo según dependencia.
4. Multiplicar todas las probabilidades.

Para “al menos uno”, usar el complemento: $1\text{–}P(ninguno)$.

Errores comunes al calcular probabilidad compuesta

Aplicaciones reales de la probabilidad compuesta

• Control de calidad: Probabilidad de que dos piezas seguidas salgan defectuosas.
• Medicina: Probabilidad de que un paciente tenga dos síntomas a la vez.
• Finanzas: Probabilidad de que dos inversiones fallen simultáneamente.
• Juegos de azar: Calcular chances en póker, loterías o dados.

Ejemplo avanzado: diagrama de árbol para probabilidad compuesta

Problema: En una bolsa hay 4 canicas verdes y 2 amarillas. Extraemos dos sin reemplazo. ¿Probabilidad de una verde y luego una amarilla?

Diagrama de árbol:

• Primera verde: 4/6 = 2/3. Luego amarilla: 2/5 → (2/3)×(2/5)=4/15
• Primera amarilla: 2/6=1/3. Luego verde: 4/5 → (1/3)×(4/5)=4/15

Resultado: La probabilidad de (verde y luego amarilla) es 4/15 ≈ 0.2667

El diagrama de árbol es visual y evita errores.

Fórmulas clave que debes recordar

• Independientes: $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$
• Dependientes: $P(A\cap B)=P(A)\times P(B\mathrm{\mid }A)$P
• Complemento para “al menos uno”: $1\text{–}P(ninguno)$

Resumen visual de diferencias

Ejercicios propuestos para practicar

1. Lanzas un dado y una moneda. ¿Probabilidad de “par” y “cara”?
2. Una caja tiene 3 lápices rojos y 2 azules. Extraes dos sin reemplazo. ¿Probabilidad de ambos azules?
3. La probabilidad de lluvia el sábado es 0.3 y el domingo 0.4 (independientes). ¿Probabilidad de lluvia ambos días?

Respuestas:

1. (3/6)×(1/2)=3/12=1/4
2. (2/5)×(1/4)=2/20=1/10
3. 0.3×0.4=0.12

Resultados de aprendizaje

Después de leer este artículo, el estudiante debería ser capaz de:

1. Definir probabilidad compuesta y diferenciarla de la probabilidad simple.
2. Clasificar eventos como independientes o dependientes en problemas cotidianos.
3. Aplicar la regla de la multiplicación para calcular la probabilidad de dos o más eventos sucesivos.
4. Resolver problemas con y sin reemplazo, identificando cómo cambia la probabilidad.
5. Usar el complemento para calcular la probabilidad de que ocurra “al menos uno” de varios eventos.
6. Construir un diagrama de árbol para visualizar la probabilidad compuesta.
7. Evitar errores típicos como confundir multiplicación con suma o ignorar la dependencia.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador