Propiedades de las funciones trigonométricas inversas

Funciones trigonométricas inversas

Además de las funciones trigonométricas con las que estamos familiarizados en este punto, como el seno, el coseno y la tangente, también tenemos las llamadas funciones trigonométricas inversas . Son estas funciones de las que hablaremos en esta lección en video. ¿Qué son exactamente? Son las funciones inversas de nuestras funciones trigonométricas.

Sin embargo, en trigonometría, la función inversa aquí no es 1 dividido por la función. Esta función inversa le permite resolver el argumento. Por ejemplo, si tiene el problema sin x = 1 , podemos resolver el problema multiplicando ambos lados por la función seno inversa. La función seno inversa cancela la función seno en el lado izquierdo y nos queda x = sin ^ -1 (1) . Evaluar el lado derecho nos permite encontrar el ángulo de la función seno que se ajusta al problema.

Notación

Como acaba de ver, la notación para estas funciones trigonométricas inversas es única. Usamos un exponente de -1 para hacernos saber que estamos tratando con la función trigonométrica inversa. Podemos escribir nuestras funciones trigonométricas inversas así:

Funciones de disparo inverso

Esta es la notación que verá con más frecuencia en los libros de texto y en varios problemas de trigonometría. Y esta es probablemente la notación que usará al escribir sus problemas. Pero, en trigonometría, también tenemos nombres formales para estas funciones. A la función de seno inverso la llamamos función de arcoseno, a la función de coseno inverso la función de arcocoseno ya la función de tangente inversa la función de arco tangente. Si bien verá la primera notación con más frecuencia en los problemas, encontrará estos nombres formales en las discusiones de matemáticas. Entonces, es bueno conocer ambos. Es fácil recordar estos nombres si vincula el arco con el exponente -1. Todas las funciones trigonométricas inversas comienzan con el prefijo arc- seguido del nombre de la función trigonométrica que ya conocemos.

Rango limitado

Ahora, piense en las funciones trigonométricas regulares de seno, coseno y tangente. ¿Recuerdas sus gráficos?

Gráficas de funciones seno, coseno y tangente

La línea roja es la gráfica de la función seno , la línea azul es la gráfica de la función coseno y la línea violeta es la gráfica de la función tangente . ¿Qué nota interesante de estos gráficos?

Todos estos gráficos se repiten de vez en cuando. La función tangente se repite cada espacio pi, mientras que las funciones seno y coseno se repiten cada espacio 2pi. Cada vez que la función se repite, obtenemos la misma respuesta de salida. Debido a que estas funciones se repiten, tenemos que limitar el rango, o los valores de salida, de nuestras funciones trigonométricas inversas. De lo contrario, obtendríamos respuestas diferentes cada vez.

Al limitar el rango de nuestra función inversa, encontramos el valor principal o primario de nuestra función inversa. Esto es lo que entra en su calculadora cada vez que realiza una función trigonométrica inversa. Le da una respuesta dentro del rango aceptado. Si no limitáramos nuestro rango, nuestra calculadora no sabría qué respuesta darle, ya que las respuestas se repiten cada 2pi para las funciones seno y coseno y pi para la función tangente. Los siguientes son los rangos limitados aceptados para nuestras funciones trigonométricas inversas:

Estos rangos no corresponden exactamente a cómo se repiten nuestras funciones trigonométricas regulares. Esta vez, tenemos la función coseno inversa que está limitada entre 0 y pi. La función de seno inverso se limita a entre -pi / 2 y pi / 2, incluidos esos puntos. La función de tangente inversa tiene el mismo rango limitado que el seno inverso, excepto que no se incluyen los dos puntos -pi / 2 y pi / 2.

¿Qué significan estos límites? Estos límites le indican que la respuesta que obtendrá de su calculadora estará dentro de esos límites. Y si está calculando a mano, estos límites le indican que su respuesta principal también debe estar dentro de este rango. Pero tenga en cuenta que la respuesta que obtiene es solo la respuesta principal. Tiene más respuestas espaciadas cada 2pi números para el coseno y el seno inversos, y cada pi números aparte para la tangente inversa.

Por ejemplo, sin ^ -1 (1) = pi / 2 . Esta es la respuesta principal, pero en realidad tenemos respuestas cada 2pi de diferencia. Podemos incluir todas nuestras respuestas escribiendo pi / 2 + 2 * pi * n donde n es el número de espacios que la respuesta está lejos de la respuesta principal.

Gráficos

Debido a que nuestras funciones inversas están limitadas a su rango, también lo está nuestra función cuando la graficamos. En lugar de que nuestras funciones continúen para siempre como nuestras gráficas de seno, coseno y tangente, nuestras gráficas de arcoseno, arcocoseno y arcotangente solo muestran la gráfica dentro del rango limitado aceptado.

Este gráfico muestra la función arcoseno como la línea roja, la función arcocoseno como la línea azul y la función arcoseno como la línea púrpura:

Gráficos de funciones arcoseno, arcoseno y arqueante

¿Ves cómo hemos limitado la gráfica de cada una de estas funciones? Si no los limitáramos, estos gráficos continuarían repitiéndose una y otra vez al igual que nuestras funciones seno, coseno y tangente.

Resumen de la lección

Repasemos lo que hemos aprendido. Las funciones trigonométricas inversas son las funciones inversas de nuestras funciones trigonométricas. Nuestras funciones trigonométricas son nuestras funciones habituales de seno, coseno y tangente. Hay dos formas de escribir nuestras funciones inversas. Podemos llamarlos por su nombre. Tenemos el inverso del seno es arcoseno, el inverso del coseno es arcocoseno y el inverso de la tangente es arcotangente. También podemos escribirlos usando el símbolo de exponente -1.

Esta función inversa nos permite encontrar el ángulo de una función trigonométrica. Por ejemplo, para encontrar el ángulo del problema sin x = 1 , aplicamos la función de seno inverso a ambos lados de la ecuación. Se cancela con la función seno en el lado izquierdo y nos queda x = sin ^ -1 (1) . Evaluamos el lado derecho para encontrar nuestra respuesta. Podemos usar nuestra calculadora para encontrar la respuesta. Si lo hacemos, obtendremos la respuesta principal.

Recuerde, nuestras funciones seno y coseno se repiten cada 2 espacios pi y nuestra función tangente se repite cada espacio pi. Debido a que nuestras funciones inversas se limitan a la respuesta principal, cada función inversa también tiene un rango limitado. Son los siguientes:

Los gráficos de las funciones inversas también muestran este rango limitado. Este gráfico muestra la función arcoseno como la línea roja, la función arcocoseno como la línea azul y la función arcoseno como la línea púrpura:

Gráficos de funciones arcoseno, arcoseno y arqueante

Los resultados del aprendizaje

Una vez que haya terminado con esta lección, tendrá la capacidad de:

• Identificar las funciones trigonométricas inversas y sus gráficas.
• Describe las dos formas de escribir estas funciones.
• Explicar el rango limitado de funciones inversas.