Propiedades lineales de integrales definidas

El integral

Recuerda que una integral se define entre un límite inferior ( x = a ) y un límite superior ( x = b ) y estás integrando sobre f (x) , que se conoce como integrando. La variable de integración está escrita en este término dx , entonces en este caso, estamos integrando sobre x . A menudo pensamos en esto como el área bajo una curva. Aquí, es el área entre f (x) y el eje x (entre x = a y x = b). Pensemos en algunas de las propiedades que tienen estas integrales. Por el bien de todos estos ejemplos, integremos realmente la función de su velocidad, es decir, la velocidad en función del tiempo. Tenemos la integral de a a b de f (t) dt . El tiempo es nuestra variable independiente.

La propiedad inversa de integrales definidas

Propiedad integral cero

La primera propiedad es la ‘Propiedad Going Nowhere’. Esta es realmente la propiedad integral cero . Digamos que tienes f (t) (tu velocidad en función del tiempo) y quieres integrar de t = a a t = a f (t) dt . Recuerde que si toma la integral de su velocidad en función del tiempo, le dará la distancia que ha recorrido durante ese período de tiempo. En este caso, el tiempo va de a a a , por lo que no ha transcurrido ningún tiempo. Si no ha pasado el tiempo, no ha ido a ninguna parte. Entonces la integral de a a a de f (t) dt= 0, porque no ha pasado ningún tiempo y no has ido a ninguna parte.

Propiedad atrasada

La propiedad constante

¿Qué pasa si escribo f (t) dt de t = a a t = b ? Esto avanza en el tiempo desde t = a hasta t = b . ¿Qué pasa si tomo la integral de t = b a t = a ? Esto es retroceder en el tiempo. Si voy a 30 millas hacia delante de vez en un a tiempo b , cuando invierto tiempo, voy a ir a 30 millas hacia atrás. Así que en términos de integrales, escribimos esto como la integral de una a b de f (t) dt = – la integral deb a una de f (t) dt . Esta es la propiedad al revés . Si cambia los límites de la integración, aquí también tiene que cambiar el signo.

Propiedad constante

Esta propiedad constante también se denomina “propiedad de aceleración” o “propiedad de repetir”. Digamos que usted tiene una integral de una a b de C * f (t) dt , con C como una constante. Piense en esto como si Cf (t) = 60 mph. Si vas a 60 mph tiempo de una a tiempo b , vas a terminar en algún lugar en el camino. Si, en cambio, vas a 30 mph (eso es f (t) ), entonces solo llegarías a la mitad del camino. Entonces tendrías que hacerlo dos veces. Si usted tiene una constante dentro de una integral, se puede tirar el exterior constante de la integral para obtener la integral de una a bde Cf (t) dt es lo mismo que C * la integral de a a b de f (t) dt . Así que puedes ir rápido o lento, pero hazlo dos veces.

La propiedad aditiva

Propiedad aditiva

A continuación, tenemos la ‘Propiedad Continua’, también conocida como Propiedad Aditiva . En este caso, tenemos la integral de a a b de f (t) dt + la integral de b a c de f (t) dt = la integral de a a c de f (t) dt . Todo lo que he hecho aquí es tomar mi velocidad desde una a b y encontrar mi área. Luego le agregué el área de b a c . Eso es lo mismo que encontrar el área entre una y c. Sería como si estuviera en un viaje por carretera. Después de una hora, miro lo lejos que he llegado, y luego, a la segunda hora, veo lo lejos que he llegado desde esa primera hora. Sería lo mismo que si hubiera mirado las dos horas que llevo conduciendo. Por lo tanto la integral de una a ab , más la integral de B a C es el mismo que la integral de una a c .

Propiedad de suma

La propiedad Sums

Por último, tenemos la propiedad Sums , o ‘Fast Lane Property’. Digamos que está encontrando la integral de a a b de f (t) + g (t) . Digamos que f (t) es la velocidad con la que circula el tráfico en la autopista, y g (t) es la velocidad a la que vas además. Entonces, su velocidad total es la velocidad de todos los demás en el tráfico más la diferencia entre su velocidad y la de todos los demás (qué tan rápido se está alejando de todos). Entonces, la integral de a a b de ( f (t) + g (t) ) dt = la integral de a a bde f (t) dt + la integral de a a b de g (t) dt .

Resumen de la lección

Repasemos las propiedades de las integrales que hemos aprendido:

• La propiedad Integral Zero es la integral de una a una de f (x) dx = 0
• La propiedad inversa es la integral de a a b de f (x) dx = – la integral de b a a de f (x) dx
• La propiedad constante es la integral de a a b de Cf (x) dx = C * la integral de a a b de f (x) dx
• La propiedad aditiva es la integral de a a b de f (x) dx + la integral de b a c de f (x) dx = la integral de a a c de f (x) dx
• La propiedad de las sumas es la integral de a a b de ( f (x) + g (x) ) dx = la integral de a a b de f (x) dx + la integral de a a b de g (x) dx