foto perfil

Propiedades logarítmicas

Publicado el 18 septiembre, 2020

Propiedades logarítmicas

Una vez que haya dominado la evaluación de registros, es hora de aprender los trucos. De manera similar a cómo la multiplicación tiene la propiedad distributiva , los logaritmos tienen sus propias propiedades que nos ayudarán en el futuro cuando estemos resolviendo problemas del mundo real. Debido a que este video trata sobre los aspectos prácticos detrás de las cosas divertidas, no será el video más emocionante de todos los tiempos, pero trataré de hacerlo lo menos doloroso posible.

La propiedad del producto

La primera propiedad que aprenderemos se llama propiedad del producto . Debido a que los logaritmos están relacionados con exponentes, esto es, en realidad, muy similar a la propiedad del exponente llamada propiedad del producto de potencias . Básicamente nos dice que cuando multiplicamos dos potencias podemos sumar sus exponentes. Siempre que recuerde eso, podemos crear la propiedad del producto para los registros de la siguiente manera. Ahora, lo que voy a hacer es una prueba matemática de la propiedad del producto. No voy a hacer esto para todas las propiedades en este video, pero creo que es bueno ver al menos una de ellas para que sepas que estas cosas no son simplemente inventadas; en realidad provienen de algunas matemáticas.


Al multiplicar dos potencias, sumamos sus exponentes
Ecuación que muestra el producto de la propiedad de potencias

Ahora, todas las pruebas deben comenzar con alguna información asumida, por lo que para esta comenzaremos diciendo que log base b de x sea igual a my log base b de y sea igual a n . Son dos ecuaciones en forma logarítmica , pero si cambio esas mismas ecuaciones a forma exponencial, obtengo b m = x y b n = y . Por lo tanto, si se multiplican x e y , todo lo que realmente estoy haciendo está multiplicando b m * b n, que luego nos permite usar la propiedad del producto de potencias de los exponentes, como mencionamos antes, y sumar los exponentes, así obtengo b ( m + n ) . Esto todavía está en forma exponencial, pero si lo cambio de nuevo a forma logarítmica, tendría la base logarítmica b de x * y = m + n . Pero luego volver a nuestra definición original de lo que soy y n eran y sustituyendo los de esta ecuación, que nos da que el logaritmo en base b de x * y es igual al logaritmo en base b de xmás la base logarítmica b de y . Ésta es exactamente la propiedad producto de los logaritmos.

Las propiedades de cociente y potencia

Si hacemos exactamente la misma prueba pero con división en lugar de multiplicación, terminamos usando la propiedad del exponente llamada cociente de potencias , y obtenemos la propiedad del cociente de los logaritmos, que es que la base logarítmica b de x dividida por y es igual a la base logarítmica b de x menos la base logarítmica b de y . Por último, si utilizamos un exponente en nuestra prueba, nos encontramos con la propiedad de potencia de los logaritmos, que nos dice que el logaritmo en base b de x y es igual a Y los tiempos de registro de base b dex .

Entonces, esas son nuestras tres propiedades logarítmicas: la propiedad del producto, la propiedad del cociente y la propiedad de la potencia. Tenerlos escritos formalmente, como lo hacemos aquí, es bueno si queremos ser exactos, pero podemos simplificar la información de las propiedades colocándolas en una tabla. Lo que realmente se reduce a esto es lo siguiente: ¿qué sucede dentro del registro y qué nos dice la propiedad que podría estar sucediendo en el exterior? La propiedad del producto dice que si ve que se está multiplicando dentro de un registro, puede cambiarlo a una suma entre registros en el exterior. De manera similar, la propiedad del cociente dice que si vemos una división en el interior del registro, podemos convertirla en una resta entre los registros del exterior. Y finalmente, la propiedad de la potencia nos dice que cuando ve un exponente en el interior del registro,


En cada propiedad, puede ir y venir entre operaciones dentro y fuera del registro.
Tabla de propiedades logarítmicas

Observe cómo tengo pequeñas flechas dibujadas entre cada una de las operaciones correspondientes. Eso es porque podemos ir y venir usando esta propiedad de cualquier manera. Por ejemplo, la propiedad del cociente dice que si veo una división en el interior, puedo cambiarla a una resta en el exterior, pero si veo una resta en el exterior, puedo retroceder y cambiarla a una división en el interior. Vamos a hacer ambas cosas.

Ahora podemos usar este gráfico como una hoja de trucos para convertir un registro complejo en una cadena larga de registros más simples o ir en la dirección opuesta y convertir una cadena larga de registros simples en uno complejo. Para practicar la aplicación de estas propiedades a problemas como este, consulte el siguiente video, titulado Problemas de práctica para propiedades logarítmicas.

Resumen de la lección

Para repasar, además del cambio de propiedad base, existen otras tres propiedades logarítmicas que nos permiten manipular logs. La propiedad del producto dice que cuando tomamos el logaritmo de dos cosas que se multiplican, podemos dividirlo en dos registros de esas dos cosas que se suman. La propiedad del cociente dice que cuando tomamos el logaritmo de un cociente, podemos dividirlo en dos logaritmos que se van a restar. La propiedad de la potencia dice que cuando tomamos el logaritmo de una potencia, podemos reducir el exponente, llevarlo al frente del logaritmo y multiplicar.

Articulos relacionados