Proposiciones, valores de verdad y tablas de verdad
Proposiciones
María tiene un perro azul. Kevin tiene un gato morado. Joann tiene una rata negra. Estos son ejemplos de proposiciones. Las proposiciones , en lógica, son declaraciones que pueden etiquetarse como verdaderas o falsas. Todos los ejemplos que acaba de escuchar y ver son afirmaciones completas que puede decir que son verdaderas o falsas.
Negación
En lógica, a veces cambiamos nuestra declaración original a su forma negativa. Hacemos esto agregando un NO en la declaración. Entonces, lo negativo de ‘María tiene un perro azul’ es ‘María no tiene un perro azul’. Hemos agregado algunas palabras solo para hacerlo gramaticalmente correcto, pero como puede ver, hemos agregado un NO en la declaración. Pasamos de afirmar que algo está pasando a algo que no está pasando.
Si nuestra proposición original está en forma negativa, entonces la forma negativa de esa declaración será positiva. Por ejemplo, si nuestra declaración original es ‘No estamos en el año 1990’, entonces el negativo de esa declaración se convierte en ‘Estamos en el año 1990’.
Piense en lo negativo como agregar un NO si no hay un NO y eliminar el NO si hay un NO. Básicamente, estás convirtiendo lo positivo en negativo o lo negativo en positivo dependiendo del tipo de declaración con la que comiences.
Valor de verdad
Negar una proposición cambia su valor de verdad , ya sea que el enunciado sea verdadero o falso. Por ejemplo, si la afirmación “Le encanta perseguir ardillas” es verdadera, la negativa de la afirmación “No le encanta perseguir ardillas” es falsa.
Podemos crear una tabla simple para mostrar el valor de verdad de un enunciado y su negación . Llamaremos p a nuestro enunciado y a la negación NOT p . Los escribimos en la fila superior de nuestra tabla de valores de verdad. En la siguiente fila, colocamos T debajo de la columna p . Ahora, si el enunciado p es verdadero, entonces su negación NOT p debe ser falsa, por lo que colocamos F en la misma fila debajo de la columna NOT p . En la siguiente fila, colocamos F debajo de la columna p y T debajo de NOT pcolumna ya que si nuestra declaración original es falsa, entonces la negación debe ser verdadera. Podemos usar esta tabla de valores de verdad para cualquier propuesta lógica que encontremos.
| pags | NO p |
|---|---|
| T | F |
| F | T |
Podemos mirar cualquier propuesta y compararla con esta tabla de valores de verdad. Si nuestra proposición original es falsa, entonces su negación es verdadera. Si nuestra proposición original es verdadera, entonces su negación es falsa. Por ejemplo, si sabemos que la proposición ‘2 + 2 = 5’ es falsa, entonces al mirar la tercera fila en el gráfico, podemos ver que la negación ‘2 + 2 no = 5’ es verdadera.
Mesa de la verdad
Podemos llevar nuestra tabla de valores de verdad un paso más allá agregando una segunda propuesta a la mezcla. Al agregar una segunda proposición e incluir todos los escenarios posibles de las dos proposiciones juntas, creamos una tabla de verdad , una tabla que muestra el valor de verdad para combinaciones lógicas. Llamaremos a nuestra primera proposición py a nuestra segunda proposición q . Con solo estas dos proposiciones, tenemos cuatro escenarios posibles.
Podemos tener ambas declaraciones verdaderas; podemos tener el primer enunciado verdadero y el segundo falso; podemos tener la primera declaración falsa y la segunda verdadera; y podemos tener ambas declaraciones falsas. Por ejemplo, si nuestra primera proposición, p , es ‘Ed es un caballo’ y nuestra segunda proposición, q , es ‘Spot es un perro’, entonces podemos tener cuatro escenarios posibles combinando estas dos declaraciones. Podemos tener ambos enunciados verdaderos, podemos tener el primer enunciado verdadero y el segundo enunciado falso, podemos tener el primer enunciado falso y el segundo verdadero, o podemos tener ambos enunciados falsos.
La tabla de verdad establece todos estos escenarios para que pueda buscar rápidamente su situación para encontrar su valor de verdad. Este es solo el comienzo de nuestra tabla de verdad donde configuramos nuestros escenarios. Siga mirando y verá cómo incluir los valores de verdad para las combinaciones lógicas.
| pags | q |
|---|---|
| T | T |
| T | F |
| F | T |
| F | F |
Hay cuatro combinaciones lógicas que podemos hacer con estas dos declaraciones.
1. py q . Cuando tiene un AND que conecta las dos declaraciones simples, significa que ambas declaraciones deben estar sucediendo al mismo tiempo. Por ejemplo, si nuestra primera proposición es ‘La habitación es azul’ y nuestra segunda proposición es ‘La lámpara es azul’, entonces pyq significa que tanto la habitación como la lámpara son azules. Para que este tipo de ‘y enunciado’ sea verdadero, ambos enunciados deben ser verdaderos para empezar. Podemos demostrar esto añadiendo una columna de nuestra tabla de verdad para P y Q y etiquetar la fila donde ambos p y q son verdaderas con una T y el resto con una F .
| pags | q | py q |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | F |
| F | F | F |
2. p O q . Cuando combina las dos proposiciones con un OR, significa que está sucediendo una o ambas. Si nuestra primera proposición es ‘El gato persigue al ratón’ y nuestra segunda proposición es ‘El perro persigue al gato’, combinar los dos con un OR significa que podemos ver al gato persiguiendo al ratón o podemos ver al perro persiguiendo el gato o podemos ver tanto al perro persiguiendo al gato como al gato persiguiendo al ratón. Para este caso, si solo una de las declaraciones es verdadera, la declaración OR será verdadera. Agreguemos esta información a nuestra tabla de verdad debajo de la columna p O q . El único escenario en el que esto es falso es cuando ambas declaraciones son falsas para empezar.
| pags | q | py q | p O q |
|---|---|---|---|
| T | T | T | T |
| T | F | F | T |
| F | T | F | T |
| F | F | F | F |
3. Si p, entonces q . En este caso, la segunda proposición ocurrirá si ocurre la primera proposición. Por ejemplo, si nuestra primera proposición es ‘Jimmy pierde un diente’ y nuestra segunda proposición es ‘Jimmy encuentra un dólar’, combinar los dos de esta manera significa que si Jimmy pierde un diente es cierto, entonces Jimmy encuentra que un dólar también es cierto. . Si Jimmy no encuentra un dólar, entonces esta combinación es falsa. Si Jimmy no pierde un diente, si encuentra un dólar o no es irrelevante y cualquiera de los dos casos será cierto para esta combinación. Piense en esto como una especie de promesa. La única forma de romper una promesa y hacer que esta combinación sea falsa es si ocurre la primera proposición y no se cumple la segunda proposición. Todos los demás casos serán ciertos.
| pags | q | py q | p O q | Si p, entonces q |
|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T |
| T | F | F | T | F |
| F | T | F | T | T |
| F | F | F | F | T |
4. p si y solo si q . Esta última combinación significa que cualquiera de las proposiciones ocurre solo si ocurre la otra proposición. Entonces, si mi primera propuesta es ‘Iremos al parque de diversiones’ y mi segunda propuesta es ‘Iremos al zoológico’, esta combinación me dice que o vamos al parque de diversiones y al zoológico o no vamos a ninguno de los dos. . No podemos tener uno sin el otro. Para llenar nuestra tabla de verdad para esta combinación, marcamos una T para cuando ambas declaraciones son verdaderas o falsas.
| pags | q | py q | p O q | Si p, entonces q | p si y solo si q |
|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T | T |
| T | F | F | T | F | F |
| F | T | F | T | T | F |
| F | F | F | F | T | T |
Podemos usar esta tabla de verdad para encontrar el valor de verdad para las combinaciones lógicas Y, O, si-entonces, y si y solo si de dos proposiciones buscando primero nuestro escenario y luego encontrando nuestra combinación lógica.
Podemos crear nuestra propia tabla de verdad para combinaciones de tres proposiciones o más agregando más filas y columnas para dar cuenta de más proposiciones y escenarios. Para dos proposiciones, solo tenemos cuatro escenarios. Para tres proposiciones, nuestros escenarios saltan a ocho ya que estamos agregando otra proposición que puede ser verdadera o falsa.
| pags | q | r |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | T | F |
| T | F | T |
| T | F | F |
| F | T | T |
| F | T | F |
| F | F | T |
| F | F | F |
A partir de este momento, podemos construir nuestra tabla de verdad con las diversas combinaciones que necesitamos.
Resumen de la lección
Repasando, hemos aprendido que las proposiciones son declaraciones que pueden etiquetarse como verdaderas o falsas. También hemos aprendido que el valor de verdad de un enunciado es si es verdadero o falso y una tabla de verdad es una tabla que muestra todos los valores de verdad para combinaciones lógicas. Las cuatro combinaciones lógicas que hemos discutido son Y, O, si-entonces, y si y solo si. Y significa que ambas declaraciones deben ser verdaderas para que la combinación sea verdadera. O significa que cualquiera de las afirmaciones debe ser verdadera para que la combinación sea verdadera. Si-entonces significa que la segunda declaración debe ocurrir cuando ocurre la primera declaración. Si y solo si significa que ambas declaraciones deben ser verdaderas o falsas para que la combinación sea verdadera.
Los resultados del aprendizaje
Después de ver esta lección, debería poder:
- Definir propuesta y valor de verdad
- Comprender cómo leer una tabla de verdad.
- Discuta las cuatro combinaciones lógicas cubiertas
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